2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设函数 $f(x)$ 的定义域是全体实数, 并且 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 并且 $f(x)$ 可导。
(1) 证明: 对于 $\forall a$, 都有 $\left\{\begin{array}{l}\int_{-\pi}^\pi f(x+a) \sin n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n a) \mathrm{d} x \\ \int_{-\pi}^\pi f(x+a) \cos n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n a) \mathrm{d} x\end{array}\right.$ 成立
(2) 用 (1) 以及傅里叶级数理论证明: 若 $f(x)=f(x+\sqrt{3})$, 则 $f(x)$ 为常函数。

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答案：

解析:
(1) $\int_{-\pi}^\pi f(x+a) \sin n x \mathrm{~d} x \stackrel{x+a=t}{=} \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x) \sin (n x-n a) \mathrm{d} x \stackrel{\text { 周期函数的性质 }}{=} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n a) \mathrm{d} x$ 同理
$$
\int_{-\pi}^\pi f(x+a) \cos n x \mathrm{~d} x \stackrel{x+a=t}{=} \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x) \cos (n x-n a) \mathrm{d} x \stackrel{\text { 周期函数的性质 }}{=} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n a) \mathrm{d} x
$$
(2) 注意到 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的可导周期函数, 于是 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 。其中 $a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots ; b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ 由于 $f(x)=f(x+\sqrt{3})$, 所以 $a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x+\sqrt{3}) \cos n x \mathrm{~d} x \stackrel{(1)}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n \sqrt{3}) \mathrm{d} x$ 同理 $b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x+\sqrt{3}) \sin n x \mathrm{~d} x \stackrel{(1)}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n \sqrt{3}) \mathrm{d} x$ 由于 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n \sqrt{3}) \mathrm{d} x=\cos (n \sqrt{3}) \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x+\sin (n \sqrt{3}) \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x$ $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n \sqrt{3}) \mathrm{d} x=\cos (n \sqrt{3}) \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x-\cos (n \sqrt{3}) \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x$ 所以 $\left\{\begin{array}{l}a_n=a_n \cos (n \sqrt{3})+b_n \sin (n \sqrt{3}) \\ b_n=b_n \cos (n \sqrt{3})-a_n \sin (n \sqrt{3})\end{array}\right.$ ，解得 $a_n=b_n=0(n \geqslant 1)$ 。所以 $f(x)=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x$

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