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数学试卷4

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 29 题），每题只有一个选项正确

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x^{2}} =

A.

\frac{π}{2}

B.

- \frac{π}{2}

C.

π

D.

- π

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2. 由抛物线

y = 6 - x^{2}

与直线

y = 3 - 2 x

围成平面图形的面积

A =

A.

\frac{11}{5}

B.

\frac{18}{5}

C.

\frac{19}{3}

D.

\frac{32}{3}

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3. 曲线

y = x e^{\frac{x^{2}}{2}}

与其渐近线之间图形的面积为

A.

B.

C.

D.

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4. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1 + \sin \frac{π}{2} x, & x ⩽ 1, \\ 2 - \sqrt{x - 1}, & x > 1 . \end{cases}

对

f (x)

给出两个命题:①点

x = 1

是

f (x)

的一个极值点; ②点

(1, 2)

是曲线

y = f (x)

的一个拐点. 则

A.

①和 ② 都正确.

B.

①正确,但② 不正确.

C.

① 不正确, 但② 正确.

D.

①和② 都不正确.

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5. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 2]

上二阶可导, 且

f^{''} (x) > 0

, 又

f (0) = 2 f (1) = f (2) = 2

, 则

A.

1 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 2

B.

\frac{3}{2} < \int_{0}^{2} f (x) d x < \frac{5}{2}

C.

2 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 3

D.

3 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 4

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6. 当

x \to 0

时,

\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}

是

A.

无穷大

B.

无穷小

C.

有界但非无穷小

D.

无界但非无穷大

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7. 设有下列命题
(1) 数列

{x_{n}}

收敛 (即存在极限

lim_{n \to \infty} x_{n}

), 则

x_{n}

有界.
(2) 数列极限

lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} x_{n + l} = a

. 其中

l

为某个确定的正整数.
(3) 数列

lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} x_{2 n - 1} = lim_{n \to \infty} x_{2 n} = a

.
(4) 数列极限

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

\Leftrightarrow lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}^{n \to \infty}}{x_{n}} = 1

.
则以上命题中正确的个数是

A.

B.

C.

D.

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8. 下列命题中正确的是

A.

若

lim_{x \to x_{0}} f (x) ⩾ lim_{x \to x_{0}} g (x) \Rightarrow \exists δ > 0

, 当

0 < | x - x_{0} | < δ

时

f (x) ⩾ g (x)

B.

若

\exists δ > 0

使得当

0 < | x - x_{0} | < δ

时有

f (x) > g (x)

且

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A_{0}, lim_{x \to x_{0}} g (x) = B_{0}

均

\exists

, 则

A_{0} > B_{0}

C.

若

\exists δ > 0

, 当

0 < | x - x_{0} | < δ

时

f (x) > g (x) \Rightarrow lim_{x \to x_{0}} f (x) ⩾ lim_{x \to x_{0}} g (x)

D.

若

lim_{x \to x_{0}} f (x) > lim_{x \to x_{0}} g (x) \Rightarrow \exists δ > 0

, 当

0 < | x - x_{0} | < δ

时有

f (x) > g (x)

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lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{4}} =

A.

B.

- \frac{1}{6}

C.

- \frac{1}{8}

D.

- \frac{1}{12}

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10. 当

x \to 0

时下列无穷小中阶数最高的是

A.

(1 + x)^{x^{2}} - 1

B.

e^{x^{4} - 2 x} - 1

C.

\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} d t

D.

\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt[3]{1 + 3 x}

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11. 数列

1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \dots \dots, \sqrt[n]{n}

的最大项为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt[3]{3}

C.

\sqrt[4]{4}

D.

\sqrt[5]{5}

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12. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \ln x d x

B.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} e^{x} d x

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13. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{\sin 2 x} \ln (1 + t) dt}{1 - \cos x}

等于

A.

B.

C.

D.

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14. 设

n

为正整数, 则

f (x) = (1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}) e^{- x}

的极值问题是

A.

有极小值

B.

有极大值

C.

既无极小值也无极大值

D.

f (x)

是否有极值依赖于

n

的具体取值

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15. 设

y = y (x)

满足条件

\begin{aligned} y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0, \\ y (0) = 2, y^{'} (0) = 0, \end{aligned}

则

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x =

A.

B.

-2

C.

D.

-1

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16. 球状网作为一名秘密任务的长官, 你和首席科学家大宝有如下的谈话。
科学家: “长官, 我们已经掌握了球状闪电的控制规律, 我们发现实验室中的球状闪电半径的变化率

v (t)

满足如下的方程。

v = a r + r^{3} - r^{5}

这里

r (t)

表示球状闪电的半径, 而

t

是时间变量。初始时刻, 没有球状闪电, 即

r (0) = 0

。相应地, 我们也有

v (0) = 0

。而

a \in R

可以被人为控制, 您可以通过拉动一个控制杆来迅速的改变

a

的值。我们给它的预设值是

a = - 1

。”
你: “做的漂亮, 博士!

a

是我们的唯一控制方式吗? 这似乎并不能把球状闪电启动起来。”
科学家: “您说的对, 长官。我们的确有另一个控制方式, 就是踢一下仪器。” 你: “博士, 您没开玩笑吧? 踢一下?”
科学家: “没错, 如果踢一下的话,

r (t)

的值就会瞬间提高

ε (ε

远小于 1

) 。 ”

你: “明白了, 这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电, 让它的半径严格超过

\sqrt{2}

, 再让它逐渐完全消失。”
科学家: “是的, 长官。我们为此设计了四个控制方案。
请问长官您觉得这些方案如何? ”
你看了一下这些选项, 发现其中可行的方案有

A.

设置

a = 2

, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过

\sqrt{2}

, 再设置

a = - \frac{1}{2}

;

B.

设置

a = 3

, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过

\sqrt{2}

, 再设置

a = - \frac{1}{3}

;

C.

设置

a = 4

, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过

\sqrt{2}

, 再设置

a = - \frac{1}{4}

;

D.

设置

a = 5

, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过

\sqrt{2}

, 再设置

a = - \frac{1}{5}

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17. 方程

x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1 (b, c

为非零常数

)

所对应的曲面不可能是

A.

椭球面

B.

双叶双曲面

C.

单叶双曲面

D.

锥面

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18. 原点关于直线

\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{- 2}

的对称点为

A.

(- 4, 0, 4)

B.

(4, 0, 4)

C.

(- 4, 0, - 4)

D.

(4, 0, - 4)

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19. 设

f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x^{2} - x - 2} \arctan \frac{1}{x}

, 则

A.

f (x)

有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点

B.

f (x)

有两个可去间断点,一个第二类间断点

C.

f (x)

有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点

D.

f (x)

有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点

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20. 曲线

y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + x

的渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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21. 设

I (a, b) = \int_{- π}^{π} (a \cos x + 2 b \sin x)^{2} d x

, 则

I (a, b)

在

a^{2} + b^{2} ⩽ 1

上的最大值为

A.

4 π

B.

3 π

C.

2 π

D.

π

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22. 设

α_{1} = \sqrt{x + \sqrt{x}}, α_{2} = \sqrt[3]{x} \tan (x + \sqrt{x}), α_{3} = 1 - \cos \sqrt{x}

. 当

x \to 0^{+}

时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{3}, α_{2}

C.

α_{2}, α_{1}, α_{3}

D.

α_{3}, α_{1}, α_{2}

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23. 设函数

y (x) = lim_{t \to 0} {[1 - \frac{\ln (1 - t)}{x^{2}}]}^{\frac{x}{lin t}}

, 下列关于曲线

y = y (x)

的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.

A.

(2).

B.

(3).

C.

(2)(3).

D.

(2)(4).

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24. 设

p ⩾ 0

, 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \frac{x^{p}}{1 + x^{q}} d x

发散, 则

A.

p > 0, q ⩾ 0

B.

p > 0, q < 0

C.

p = 0, q ⩾ 0

D.

p = 0, q < 0

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25. 若

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{α}} = β \neq 0

则

A.

α = 2, β = - 1

B.

α = 3, β = - \frac{1}{6}

C.

α = 4, β = - \frac{1}{12}

D.

α = 5, β = - \frac{1}{8}

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26. 若

lim_{x \to 0} \frac{a x^{2} + b x + 1 - e^{x^{2} - 2 x}}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 5, b = - 2

B.

a = - 2, b = 5

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 4, b = - 4

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27. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

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28. 设

f (x)

连续, 且

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} = 1, α (x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{\ln (1 + t^{+})}{f (t)} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} \frac{\sqrt{1 + t^{3}} - 1}{f (t)} d t

, 则当

x \to 0^{+}

时,

α (x)

是

β (x)

的

A.

等价无穷小

B.

同阶但非等价的无穷小

C.

高阶无穷小

D.

低阶无穷小

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29. 设

f (x)

为连续函数，

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

，其中

s > 0, t > 0

, 则

I

的值

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

，不依赖于

s

D.

依赖于

s

，不依赖于

t

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