一、单选题 （共 29 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $-\pi$.
由抛物线 $y=6-x^2$ 与直线 $y=3-2 x$ 围成平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{18}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{19}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{32}{3}$.
曲线 $y=x \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ 与其渐近线之间图形的面积为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题:①点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极 值点; ②点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ ①和 ② 都正确.
$\text{B.}$ ①正确,但② 不正确.
$\text{C.}$ ① 不正确, 但② 正确.
$\text{D.}$ ①和② 都不正确.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 4$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷大
$\text{B.}$ 无穷小
$\text{C.}$ 有界但非无穷小
$\text{D.}$ 无界但非无穷大
设有下列命题
(1) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ), 则 $x_n$ 有界.
(2) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(3) 数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.
(4) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在 $\Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{n \rightarrow \infty}}{x_n}=1$.
则以上命题中正确的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{B.}$ 若 $\exists \delta>0$ 使得当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A_0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=B_0$ 均 $\exists$, 则 $A_0>B_0$.
$\text{C.}$ 若 $\exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos \left(x e^x\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^4}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{8}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{12}$.
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
$\text{A.}$ $(1+x)^{x^2}-1$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{x^4-2 x}-1$.
$\text{C.}$ $\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t$.
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$.
数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots \cdots, \sqrt[n]{n} $ 的最大项为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $\sqrt[3]{3}$.
$\text{C.}$ $\sqrt[4]{4}$.
$\text{D.}$ $\sqrt[5]{5}$
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设 $n$ 为正整数, 则 $f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n !}\right) \mathrm{e}^{-x}$ 的极值问题是
$\text{A.}$ 有极小值
$\text{B.}$ 有极大值
$\text{C.}$ 既无极小值也无极大值
$\text{D.}$ $f(x)$ 是否有极值依赖于 $n$ 的具体取值
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \\
& y(0)=2, y^{\prime}(0)=0,
\end{aligned}
$$
则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
球状网作为一名秘密任务的长官, 你和首席科学家大宝有如下的谈话。
科学家: “长官, 我们已经掌握了球状闪电的控制规律, 我们发现实验室中的球状闪电半径 的变化率 $v(t)$ 满足如下的方程。
$$
v=a r+r^3-r^5
$$
这里 $r(t)$ 表示球状闪电的半径, 而 $t$ 是时间变量。初始时刻, 没有球状闪电, 即 $r(0)=0$ 。相 应地, 我们也有 $v(0)=0$ 。而 $a \in \mathbb{R}$ 可以被人为控制, 您可以通过拉动一个控制杆来迅速的 改变 $a$ 的值。我们给它的预设值是 $a=-1$ 。”
你: “做的漂亮, 博士! $a$ 是我们的唯一控制方式吗? 这似乎并不能把球状闪电启动起 来。”
科学家: “您说的对, 长官。我们的确有另一个控制方式, 就是踢一下仪器。” 你: “博士, 您没开玩笑吧? 踢一下?”
科学家: “没错, 如果踢一下的话, $r(t)$ 的值就会瞬间提高 $\varepsilon(\varepsilon$ 远小于 1$) 。 ”$
你: “明白了, 这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电, 让它的半径严格超 过 $\sqrt{2}$, 再让它逐渐完全消失。”
科学家: “是的, 长官。我们为此设计了四个控制方案。
请问长官您觉得这些方案如何? ”
你看了一下这些选项, 发现其中可行的方案有
$\text{A.}$ 设置 $a=2$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ 设置 $a=3$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{3}$;
$\text{C.}$ 设置 $a=4$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{4}$;
$\text{D.}$ 设置 $a=5$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{5}$
方程 $x^2+b y^2+c z^2=1(b, c$ 为非零常数 $)$ 所对应的曲面 不可能是
$\text{A.}$ 椭球面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 单叶双曲面
$\text{D.}$ 锥面
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
曲线 $y=\sqrt{x^2-2 x+4}+x$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $I(a, b)=\int_{-\pi}^\pi(a \cos x+2 b \sin x)^2 \mathrm{~d} x$, 则 $I(a, b)$ 在 $a^2+b^2 \leqslant 1$ 上的最大值为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $3 \pi$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $ \pi$
设 $\alpha_1=\sqrt{x+\sqrt{x}}, \alpha_2=\sqrt[3]{x} \tan (x+\sqrt{x}), \alpha_3=1-\cos \sqrt{x}$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
设函数 $y(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left[1-\frac{\ln (1-t)}{x^2}\right]^{\frac{x}{\operatorname{lin} t}}$, 下列关于曲线 $y=y(x)$ 的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.
$\text{A.}$ (2).
$\text{B.}$ (3).
$\text{C.}$ (2)(3).
$\text{D.}$ (2)(4).
设 $p \geqslant 0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^p}{1+x^q} \mathrm{~d} x$ 发散, 则
$\text{A.}$ $p>0, q \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $p>0, q < 0$.
$\text{C.}$ $p=0, q \geqslant 0$.
$\text{D.}$ $p=0, q < 0$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^x\right)-e^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^\alpha}=\beta \neq 0$ 则
$\text{A.}$ $\alpha=2, \beta=-1$.
$\text{B.}$ $\alpha=3, \beta=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $\alpha=4, \beta=-\frac{1}{12}$.
$\text{D.}$ $\alpha=5, \beta=-\frac{1}{8}$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2+b x+1-e^{x^2-2 x}}{x^2} =2$, 则
$\text{A.}$ $a={5}, b=-2$.
$\text{B.}$ $a=-2, b=5 $
$\text{C.}$ $a={2}, b=0$.
$\text{D.}$ $a={4}, b=-4$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(e+a x+b x^2\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{e}{2}, b=-\frac{11}{24} e$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{e}{2}, b=\frac{11}{24} e$.
$\text{C.}$ ${a}={e}, {b}=\frac{{e}}{2}$.
$\text{D.}$ ${a}={e}, {b}=-\frac{{e}}{{2}}$.
设 $f(x)$ 连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \alpha(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \frac{\ln \left(1+t^{+}\right)}{f(t)} d t, \beta(x)=\int_0^{\sin x} \frac{\sqrt{1+t^3}-1}{f(t)} d t$, 则当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价的无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
设 $f(x)$ 为连续函数， $I=t \int_0^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$ ，其中 $s>0, t>0$, 则 $I$ 的值
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$
$\text{B.}$ 依赖于 $\mathrm{s}, \boldsymbol{t}, \boldsymbol{x}$
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$ ，不依赖于 $s$
$\text{D.}$ 依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$