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数学密卷系列（3）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 29 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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2. 设三个积分分别为

\begin{matrix} M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, \\ N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x, \end{matrix}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < 1

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3. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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4. 设

\begin{aligned} M & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + x)^{2}}{1 + x^{2}} d x, \\ N & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e^{x}} d x \\ K & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) d x ， \end{aligned}

则

M, N, K

的大小关系为

A.

M > N > K

B.

M > K > N

C.

K > M > N

D.

K > N > M

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5. 设对于任意

α \in (0, \frac{π}{2})

, 方程

x^{\cos^{2} α} = k + x \cos^{2} α (x > 0)

有两个不同的实根, 则

k

的取值范围是

A.

[0, \sin^{2} α)

B.

(0, \sin^{2} α)

C.

[0, \cos^{2} α)

D.

(0, \cos^{2} α)

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6. 设反常积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{x | \ln x |^{a} \cos^{b} 2 x} d x

收敛,则

A.

a < 1, b < 1

B.

a < 1, b > 1

C.

a > 1, b < 1

D.

a > 1, b > 1

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7. 设

a \neq b

, 函数

f (x) = {\begin{cases} a, & 0 < x < π, \\ b, & - π < x < 0, \end{cases}

且其傅里叶级数展开式为

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x +

b_{n} \sin n x)

, 则

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

发散.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2}

收敛.

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8. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

-1

D.

-2

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x \to 0^{+}

时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是 ( )
(1). 由

{\begin{cases} x = t^{3} \\ y = t^{2} \end{cases}

确定的函数

y = f (x)

(2).

\ln (- x + \sqrt{1 + x^{2}})

(3).

\int_{0}^{\sin x} \ln (1 + \sqrt{t^{2}}) d t

(4).

\frac{1 - \cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}

A.

(1)(4)(2)(3)

B.

(2)(4)(1)(3)

C.

(1)(4)(3)(2)

D.

(4)(2)(1)(3)

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10. 下列有关定义在

(- \infty, + \infty)

上的可导函数

f (x)

的说法正确的是

A.

若

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

, 并且

\exists x_{0} \in (0, + \infty)

, 使得

f (x_{0}) > A, \exists x_{1} \in (0, + \infty)

并且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得

f (x_{1}) < A

, 那么

f (x)

在

(0, + \infty)

内有最大值和最小值。

B.

若

f (x)

是奇函数, 并且

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = A (\neq 0)

, 则

f (x)

的斜渐近线条数一定是偶数。

C.

若

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{x} f (t) d t

并且

f (0) = 1

, 则

f^{''} (0) = 2

D.

令

g (x) = {\begin{cases} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}, x \neq x_{0} \\ f^{'} (x_{0}), x = x_{0} \end{cases}

, 其中

x_{0} \in (- \infty, + \infty)

, 则

g^{'} (x_{0})

存在

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11. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} g (x) \cos \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}

且

g (0) = g^{'} (0) = 0

, 则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

连续但不可导.

B.

可导但

f^{'} (0) \neq 0

C.

极限存在但不连续.

D.

可微且

{d f (x) |}_{x = 0} = 0

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12. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1) \ln (1 + \frac{1}{n^{α}})

绝对收敛, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n^{1 - σ}}

条件收敛, 则

A.

α > \frac{5}{2}

B.

2 < α < 3

C.

\frac{1}{2} < α < 1

D.

α < 3

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13. 当

x \to 0

时, 无穷小

α = \sqrt{1 + x \cos x} - \sqrt{1 + \sin x}, β = \int_{0}^{e^{2 x} - 1} \frac{\sin^{2} t}{t} d t, γ = \cos (\tan x) - \cos x

的阶数由低到高的次序为

A.

α, β, γ

B.

β, γ, α

C.

γ, α, β

D.

β, α, γ

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14. 设

f (x)

在

x = 0

的邻域内二阶连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x) + 2 f^{''} (x)}{x - x^{2}} = 4

, 则下列结论正确的是

A.

x = 0

为

f (x)

的极小值点

B.

x = 0

为

f (x)

的极大值点

C.

(0, f (0))

为

y = f (x)

的拐点

D.

x = 0

既不是

f (x)

的极值点, 也不是

f (x)

的拐点

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15. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛,则下列结论正确的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

收敛

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2})

收敛

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16. 下列命题正确的是

A.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

与级数

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

都收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

一定收敛

B.

若

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

一定收敛

C.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} \neq 0)

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}

收敛

D.

若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛

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17. 已知函数

f (x), g (x)

可导, 且

f^{'} (x) > 0, g^{'} (x) < 0

, 则

A.

\int_{- 1}^{0} f (x) g (x) d x > \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x

B.

\int_{- 1}^{0} | f (x) g (x) | d x > \int_{0}^{1} | f (x) g (x) | d x

C.

\int_{- 1}^{0} f [g (x)] d x > \int_{0}^{1} f [g (x)] d x

D.

\int_{- 1}^{0} f [f (x)] d x > \int_{0}^{1} g [g (x)] d x

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18. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

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19. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2} - 1}}, & | x | < 1, \\ x^{4} - b x^{2} + c, & | x | ⩾ 1 \end{cases}

是可微函数, 则

b + c =

A.

B.

C.

D.

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20. 若

f (x) = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{1 + e^{x t}} d t

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

A.

e^{2}

B.

1 + e

C.

\ln (1 + e)

D.

\ln 2

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21. 设连续函数

g (x)

在

x = 0

点可导, 且

g (0) = 0, g^{'} (0) = 12

, 若

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{4}} \int_{\sin x}^{x} g (t) d t, & x \neq 0, \\ g (0), & x = 0, \end{cases}

则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

不连续,

x = 0

是其第二类间断点.

B.

不连续,

x = 0

是其可去间断点.

C.

连续,但不可导.

D.

可导, 且

f^{'} (0) = g^{'} (0)

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22. 设

f (x)

在

x = 0

某邻域内有连续的二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{x f^{'} (x)}{x - \sin x} = 1

, 则

A.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极大值点.

B.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极小值点.

C.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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23. 设

h (x) = {\begin{cases} 0, x ⩽ 0, \\ 1, x > 0, \end{cases}

则偶函数

φ (x) = h (\cos π x - | x |)

有两个间断点

x = \pm x_{0} (x_{0} > 0)

, 且

A.

在

\pm x_{0}

点左连续.

B.

在

\pm x_{0}

点右连续.

C.

在

- x_{0}

点左连续, 在

x_{0}

点右连续.

D.

在

- x_{0}

点右连续, 在

x_{0}

点左连续.

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24. 设

\int_{0}^{\tan x} (e^{a t^{2}} - 1) d t \sim 2 x^{3} + b x (x \to 0)

, 则

A.

a = 6, b = 0

B.

a = 0, b = 6

C.

a = - 6, b = 0

D.

a = 0, b = - 6

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25. 设曲线

L : y = f (x)

, 其中

f (x)

为连续函数,

f^{'} (x)

的图象如图所示, 则

A.

f (x)

有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

B.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

C.

f (x)

有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

D.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有一个拐点

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26. 下列广义积分发散的是

A.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{| x^{2} - x |}}

B.

\int_{0}^{1} \sqrt{x} \ln x d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{1 + x \sqrt{x}} d x

D.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{1 + x} d x

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27.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan^{2} x) - x^{2}}{x^{4}}

A.

B.

1/2

C.

1/6

D.

1/4

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28. 设函数

f (x), g (x)

二阶可导且二阶导函数在

x = a

处连续, 若

lim_{x \to a} \frac{f (x) - g (x)}{(x - a)^{2}} > 0

, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在

a

的某邻域内,

f (x) ⩾ g (x)

.
② 在点

(a, f (a))

处,

y = f (x)

的曲率大于

y = g (x)

的曲率.
③ 若

x = a

为

f (x)

的极大值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极大值点.
④ 若

x = a

为

f (x)

的极小值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极小值点.

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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29. 设

I_{1} = \int_{0}^{π} e^{- x^{2}} \cos x d x, I_{2} = \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} e^{- x^{2}} \cos x d x, I_{3} = \int_{π}^{2 π} e^{- x^{2}} \cos x d x

, 则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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