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高等数学阶段性练习（一）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 23 题），每题只有一个选项正确

1. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

-1

D.

-2

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2. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} g (x) \cos \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}

且

g (0) = g^{'} (0) = 0

, 则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

连续但不可导.

B.

可导但

f^{'} (0) \neq 0

C.

极限存在但不连续.

D.

可微且

{d f (x) |}_{x = 0} = 0

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3. 设

f (x)

在

x = 0

的邻域内二阶连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x) + 2 f^{''} (x)}{x - x^{2}} = 4

, 则下列结论正确的是

A.

x = 0

为

f (x)

的极小值点

B.

x = 0

为

f (x)

的极大值点

C.

(0, f (0))

为

y = f (x)

的拐点

D.

x = 0

既不是

f (x)

的极值点, 也不是

f (x)

的拐点

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4. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

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lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 5}{x^{3} \sin \frac{1}{x^{2}}} =

A.

B.

C.

- \frac{3}{8}

D.

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6. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2} - 1}}, & | x | < 1, \\ x^{4} - b x^{2} + c, & | x | ⩾ 1 \end{cases}

是可微函数, 则

b + c =

A.

B.

C.

D.

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7. 设

f (x)

在

x = 0

某邻域内有连续的二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{x f^{'} (x)}{x - \sin x} = 1

, 则

A.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极大值点.

B.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极小值点.

C.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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8. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 4}{x^{2} + y^{2}} = - 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (2 h, 0) - f (0, - h)}{h} =

A.

B.

C.

D.

-4

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9. 设曲线

L : y = f (x)

, 其中

f (x)

为连续函数,

f^{'} (x)

的图象如图所示, 则

A.

f (x)

有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

B.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

C.

f (x)

有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

D.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有一个拐点

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10.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan^{2} x) - x^{2}}{x^{4}}

A.

B.

1/2

C.

1/6

D.

1/4

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11. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

.
(2) 若

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

.
(3) 若

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限.
(4) 若

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限.

A.

0个

B.

1个

C.

2个

D.

3个

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12. 设

f^{'} (x)

在

x = a

处连续, 且

lim_{x \to a} \frac{\sin (x - a)}{f^{'} (x)} = - 1

, 则

A.

x = a

是

f (x)

的极小值点.

B.

x = a

是

f (x)

的极大值点.

C.

(a, f (a))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{'} (x)

在

x = a

的邻域内单调.

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13. 设曲线

L : y = \ln x

, 则

A.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最小曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

B.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最大曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

C.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最小曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最大曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

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14. 设

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 则

f (x)

有

A.

两个可去间断点.

B.

两个无穷间断点.

C.

一个可去间断点, 一个跳跃间断点.

D.

一个可去间断点,一个无穷间断点.

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15. 如果

f (x)

在

x

处可微, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y - d y}{Δ x}

的值为

A.

B.

C.

-1

D.

不确定

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16. 已知函数

f (x)

可微, 则

f (x) =

A.

\int d f (x)

B.

d (\int f (x) d x)

C.

{(\int f (x) d x)}^{'}

D.

\int f^{'} (x) d x

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17. 已知当

x \to 0

时, 函数

f (x) = 3 \sin x - \sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小, 则

A.

k = 1, c = 4

B.

k = 1, c = - 4

C.

k = 3, c = 4

D.

k = 3, c = - 4

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18. 设

f (x)

在

x = 0

处连续, 则

f (x)

在

x = 0

处可导的充分条件是

A.

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{2 x}

存在.

B.

lim_{x \to 0} \frac{f (\ln (1 + x^{2})) - f (0)}{x^{2}}

存在.

C.

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{\sqrt[3]{x}}

存在.

D.

lim_{x \to \infty} x f (\frac{1}{x})

存在.

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19. 已知函数

y = f (x)

对一切

x

满足

x f^{''} (x) + 3 x {[f^{'} (x)]}^{2} = 1 - e^{- x}

若

f^{'} (x_{0}) = 0 (x_{0} \neq 0)

则

A.

f (x_{0})

是

f (x)

的极大值;

B.

f (x_{0})

是

f (x)

的极小值;

C.

(x_{0}, f (x_{0}))

是曲线

y = f (x)

的拐点;

D.

f (x_{0})

不是

f (x)

的极值,

(x_{0}, f (x_{0}))

也不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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20. 用 “

A \to B

” 表示概念

A

可以推导出概念

B

, 函数

y = f (x)

的可导、可微、连续、可积在某闭区间上的推导关系正确的是

A.

可导

\to

可微

\to

连续

\to

可积

B.

连续

\to

可导

\to

可微

\to

可积

C.

可积

\to

连续

\to

可导

\to

可微

D.

可积

\to

可微

\to

可导

\to

连续

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21. 设

lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)^{n}} = - 1

, 其中

n

为大于 1 的整数, 则在点

x = a

处

A.

f (x)

的导数存在, 且

f^{'} (a) \neq 0

;

B.

f (x)

取得极大值;

C.

f (x)

取得极小值;

D.

f (x)

是否取得极值与

n

的取值有关.

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22. 设

f (x), g (x)

是恒大于零的可导函数, 且

f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x) < 0

, 则当

a < x < b

时, 有

A.

f (x) g (b) > f (b) g (x)

B.

f (x) g (a) > f (a) g (x)

C.

f (x) g (x) > f (b) g (b)

D.

f (x) g (x) > f (a) g (a)

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23. 设函数

p (x)

在区间

[a, b]

上连续,

y (x)

在区间

[a, b]

上具有二阶导数且满足

y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) - y (x) = 0, y (a) = y (b) = 0,

则在

[a, b]

上,

y (x)

A.

有正的最大值,无负的最小值.

B.

有负的最小值,无正的最大值.

C.

既有正的最大值, 又有负的最小值.

D.

既无正的最大值, 又无负的最小值.

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