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数学试卷2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 18 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

, 则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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2. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

.
(2) 若

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

.
(3) 若

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限.
(4) 若

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限.

A.

0个

B.

1个

C.

2个

D.

3个

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3. 设曲线

y = f (x)

由

{\begin{cases} x = t | t |, \\ y = t^{2} e^{\frac{1}{3}} \end{cases}

确定, 则该曲线的渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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4. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上连续,

f (1) = 1

, 且对任意正数

a, b, \int_{\frac{1}{a + b}}^{\frac{1}{a}} f (x) d x

的值仅与

b

有关, 则下列说法中, 错误的是

A.

f (x) > 0

B.

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

C.

f (x)

在

(0, + \infty)

上是单调函数.

D.

曲线

y = f (x)

在

(0, + \infty)

上为凸曲线.

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5. 设

f^{'} (x)

在

x = a

处连续, 且

lim_{x \to a} \frac{\sin (x - a)}{f^{'} (x)} = - 1

, 则

A.

x = a

是

f (x)

的极小值点.

B.

x = a

是

f (x)

的极大值点.

C.

(a, f (a))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{'} (x)

在

x = a

的邻域内单调.

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6. 级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{α} \ln^{β} n}

收敛的充要条件是

A.

α > 1

B.

α > 1, β > 1

C.

α ⩾ 1, β > 1

D.

α > 1

或

α = 1, β > 1

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7. 设曲线

L : y = \ln x

, 则

A.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最小曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

B.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最大曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

C.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最小曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最大曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

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8. 设

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 则

f (x)

有

A.

两个可去间断点.

B.

两个无穷间断点.

C.

一个可去间断点, 一个跳跃间断点.

D.

一个可去间断点,一个无穷间断点.

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9. 设

lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{m x} = 1

, 则

A.

f (1) = 0

B.

lim_{x \to 1} f (x) = 0

C.

f^{'} (1) = 1

D.

lim_{x \to 1} f^{'} (x) = 1

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10. 已知数列

{x_{n}}

, 其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

, 则

A.

当

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} \sin x_{n}

存在,

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在时,

lim_{n \to \infty} \cos x_{n}

存在,

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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11.

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 (1 + \cos x)} d x, I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{\ln 1 + x}{1 + \cos x} d x, I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + \sin x} d x

, 则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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12.

x = 0

是函数

f (x) = \arctan \frac{1}{x}

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

连续点

D.

无穷间断点

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13. 函数

f (x)

在

[a, b]

上连续是

f (x)

在

[a, b]

上可积的

A.

充要条件

B.

必要条件

C.

充分条件

D.

非必要非充分条件

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14. 下列反常积分发散的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x

B.

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

C.

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x} d x

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15. 若函数

f

在

(- \infty, + \infty)

内

f^{''} (x) > 0

, 且

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

, 则在下列四项函数性质:
(1)

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

;
(2)

f^{'} (x) < 0

;
(3)

f (x) > 0

;
(4)

lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty

中

A.

f

仅有第 (1) 项性质.

B.

f

仅有第 (1), (2) 两项性质.

C.

f

仅有第 (1), (2), (3) 三项性质.

D.

f

具有全部四项性质.

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16. 如果

f (x)

在

x

处可微, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y - d y}{Δ x}

的值为

A.

B.

C.

-1

D.

不确定

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17. 已知函数

f (x)

可微, 则

f (x) =

A.

\int d f (x)

B.

d (\int f (x) d x)

C.

{(\int f (x) d x)}^{'}

D.

\int f^{'} (x) d x

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18. 已知

\int_{0}^{1} (f (x) + f^{'} (x)) e^{x} d x = 1, f (1) = 0

, 则

f (0) =

A.

B.

C.

-1

D.

不确定

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