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高等数学阶段性练习（二）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 23 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

可导,

g (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{| x |} + \frac{1}{| x |} \sin^{2} x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, F (x) = f [g (x)]

,
则

F (x)

在

x = 0

点可导的充分必要条件是

A.

f^{'} (0) = 0

B.

f^{'} (0) \neq 0

C.

f (0) = 0

D.

f (0) \neq 0

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2. 已知当

x \to 0

时,

(e^{\sin^{2} x} - 1) \ln (1 + \sin^{2} x)

是比

x \sin^{n} x

高阶的无穷小量, 而

x \tan x^{n}

是比

\sqrt{1 + \tan x^{2}} - 1

高阶的无穷小量, 则正整数

n =

A.

B.

C.

D.

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3. 设函数

f (x)

的二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示, 则曲线

y =

f (x)

拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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4. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则常数

a =

A.

B.

C.

D.

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5. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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6. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续, 下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

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7. 设

f (x)

在点

x = a

的某个邻域内有定义, 则

f (x)

在

x = a

处可导的一个充分条件是

A.

lim_{h \to + \infty} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)]

存在.

B.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h}

存在.

C.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h}

存在.

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h}

存在.

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8. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

, 则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导.

B.

恰有一个不可导点.

C.

恰有两个不可导点.

D.

至少有三个不可导点.

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9. 设函数

f (x)

具有 2 阶导数,

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

则在区间

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

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10. 设函数

f_{i} (x) (i = 1, 2)

具有二阶连续导数, 且

f_{i}^{''} (x_{0}) < 0 (i = 1, 2)

. 若两条曲线

y = f_{i} (x) (i = 1, 2)

在点

(x_{0}, y_{0})

处具有公切线

y = g (x)

, 且该点处曲线

y = f_{1} (x)

的曲率大于曲线

y = f_{2} (x)

的曲率, 则在

x_{0}

的某个邻域内 , 有

A.

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)

B.

f_{2} (x) \leq f_{1} (x) \leq g (x)

C.

f_{1} (x) \leq g (x) \leq f_{2} (x)

D.

f_{2} (x) \leq g (x) \leq f_{1} (x)

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11. 求极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{2 - \sqrt{x y + 4}}{x y} =

A.

\frac{1}{4}

B.

- \frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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12. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{(x^{3} - 1) \sin x}{| x | (1 + x^{2})}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases} x \in (- \infty, + \infty)

, 则

A.

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有界

B.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

有界, 当

| x | > X

时,

f (x)

无界

C.

存在

X > 0

, 当

| x | < X

时,

f (x)

无界, 当

| x | > X

时,

f (x)

有界

D.

对任意

X > 0

, 当

| x | ⩽ X

时,

f (x)

有界, 但在

(- \infty, + \infty)

内无界

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13. 当

x \to 0

时,

\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}

是

A.

无穷大

B.

无穷小

C.

有界但非无穷小

D.

无界但非无穷大

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14.

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{4}} =

A.

B.

- \frac{1}{6}

C.

- \frac{1}{8}

D.

- \frac{1}{12}

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15. 设函数

f (x)

在

x = a

处可导, 则

lim_{x \to a} \frac{f (x) a^{3} - f (a) x^{3}}{a^{2} - x^{2}} =

A.

3 a^{2} f^{'} (a) + 2 f (a)

B.

- \frac{a^{2}}{3} f^{'} (a) + \frac{1}{2} f (a)

C.

3 a^{2} f^{'} (a) - \frac{2}{3} f (a)

D.

- \frac{a^{2}}{2} f^{'} (a) + \frac{3 a}{2} f (a)

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16. 设

f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x^{2} - x - 2} \arctan \frac{1}{x}

, 则

A.

f (x)

有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点

B.

f (x)

有两个可去间断点,一个第二类间断点

C.

f (x)

有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点

D.

f (x)

有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点

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17. 曲线

y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + x

的渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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18. 设

α_{1} = \sqrt{x + \sqrt{x}}, α_{2} = \sqrt[3]{x} \tan (x + \sqrt{x}), α_{3} = 1 - \cos \sqrt{x}

. 当

x \to 0^{+}

时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{3}, α_{2}

C.

α_{2}, α_{1}, α_{3}

D.

α_{3}, α_{1}, α_{2}

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19. 设函数

y (x) = lim_{t \to 0} {[1 - \frac{\ln (1 - t)}{x^{2}}]}^{\frac{x}{lin t}}

, 下列关于曲线

y = y (x)

的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.

A.

(2).

B.

(3).

C.

(2)(3).

D.

(2)(4).

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20. 若

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{α}} = β \neq 0

则

A.

α = 2, β = - 1

B.

α = 3, β = - \frac{1}{6}

C.

α = 4, β = - \frac{1}{12}

D.

α = 5, β = - \frac{1}{8}

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21. 若

lim_{x \to 0} \frac{a x^{2} + b x + 1 - e^{x^{2} - 2 x}}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 5, b = - 2

B.

a = - 2, b = 5

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 4, b = - 4

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22. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

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23. 函数

f (x) = \frac{(x + 1) | x - 1 |}{e^{\frac{1}{x - 2}} \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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