一、单选题 （共 27 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x=\pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x=\pm 1$ 均是第二类间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某个邻域内有定义, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ 则在区间 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$. 若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点 处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 , 有
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in(-\infty,+\infty)\right.$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{B.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 有界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 无界
$\text{C.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 无界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界
$\text{D.}$ 对任意 $X>0$, 当 $|x| \leqslant X$ 时, $f(x)$ 有界, 但在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷大
$\text{B.}$ 无穷小
$\text{C.}$ 有界但非无穷小
$\text{D.}$ 无界但非无穷大
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos \left(x e^x\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^4}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{8}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{12}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x) a^3-f(a) x^3}{a^2-x^2}=$
$\text{A.}$ $3 a^2 f^{\prime}(a)+2 f(a)$
$\text{B.}$ $-\frac{a^2}{3} f^{\prime}(a)+\frac{1}{2} f(a)$
$\text{C.}$ $3 a^2 f^{\prime}(a)-\frac{2}{3} f(a)$
$\text{D.}$ $-\frac{a^2}{2} f^{\prime}(a)+\frac{3 a}{2} f(a)$
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
曲线 $y=\sqrt{x^2-2 x+4}+x$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\alpha_1=\sqrt{x+\sqrt{x}}, \alpha_2=\sqrt[3]{x} \tan (x+\sqrt{x}), \alpha_3=1-\cos \sqrt{x}$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
设函数 $y(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left[1-\frac{\ln (1-t)}{x^2}\right]^{\frac{x}{\operatorname{lin} t}}$, 下列关于曲线 $y=y(x)$ 的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.
$\text{A.}$ (2).
$\text{B.}$ (3).
$\text{C.}$ (2)(3).
$\text{D.}$ (2)(4).
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^x\right)-e^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^\alpha}=\beta \neq 0$ 则
$\text{A.}$ $\alpha=2, \beta=-1$.
$\text{B.}$ $\alpha=3, \beta=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $\alpha=4, \beta=-\frac{1}{12}$.
$\text{D.}$ $\alpha=5, \beta=-\frac{1}{8}$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2+b x+1-e^{x^2-2 x}}{x^2} =2$, 则
$\text{A.}$ $a={5}, b=-2$.
$\text{B.}$ $a=-2, b=5 $
$\text{C.}$ $a={2}, b=0$.
$\text{D.}$ $a={4}, b=-4$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(e+a x+b x^2\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{e}{2}, b=-\frac{11}{24} e$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{e}{2}, b=\frac{11}{24} e$.
$\text{C.}$ ${a}={e}, {b}=\frac{{e}}{2}$.
$\text{D.}$ ${a}={e}, {b}=-\frac{{e}}{{2}}$.
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4