考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是

$ \text{A.}$ 无穷大 $ \text{B.}$ 无穷小 $ \text{C.}$ 有界但非无穷小 $ \text{D.}$ 无界但非无穷大

答案：

解析：

当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \rightarrow+\infty, \sin \frac{1}{x}$ 在 -1 和 1 之间振荡, 且重复函数值为零, 故可排除 A, B. 取 $x_n=\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}(n=1,2, \cdots)$, 则当 $x_n \rightarrow 0$ 时,
$$
f\left(x_n\right)=\left(2 n+\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \pi^2 \rightarrow \infty .
$$
故 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}(x \rightarrow 0)$ 不是无穷小, 也不是有界量.
再令 $y_n=\frac{1}{n \pi}(n=1,2, \cdots)$, 则当 $y_n \rightarrow 0$ 时, $f\left(y_n\right)=0$, 因此当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 不是无穷大. 选 D.

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