考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in(-\infty,+\infty)\right.$, 则

$ \text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界 $ \text{B.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 有界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 无界 $ \text{C.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 无界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界 $ \text{D.}$ 对任意 $X>0$, 当 $|x| \leqslant X$ 时, $f(x)$ 有界, 但在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界

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答案：

解析：

- 由 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}=1$, 可知存在 $\delta_1 < 0$, 当 $\delta_1 < x < 0$ 时, $f(x)$ 有界.
- 由 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}=-1$, 可知存在 $\delta_2>0$, 当 $0 < x < \delta_2$ 时, $f(x)$ 有界.
- 由 $\lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^3-1}{|x|\left(1+x^2\right)}=-1$, 可知存在 $X_1 < 0$, 当 $x < X_1$ 时, $g(x)$ 有界, 于是 $f(x)=g(x) \sin x$ 在 $\left(-\infty, X_1\right)$ 有界.
- 由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3-1}{|x|\left(1+x^2\right)}=1$, 可知存在 $X_2>0$, 当 $x>X_2$ 时, $g(x)$ 有界, 于是 $f(x)=g(x) \sin x$ 在 $\left(X_2,+\infty\right)$ 有界.
- 而 $f(x)$ 在闭区间 $\left[X_1, \delta_1\right],\left[\delta_2, X_2\right]$ 上连续，显然有界.
又 $f(0)=0$, 综上可得 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界. 选 A.

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