已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$ \text{A.} $ 1 $ \text{B.} $ 2 $ \text{C.} $ 3 $ \text{D.} $ 4
【答案】 B

【解析】 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
$$
\begin{gathered}
\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right) \sim \sin ^2 x \cdot \sin ^2 x \sim x^4, x \sin ^n x \sim x^{n+1} \\
\quad x \tan x^n \sim x^{n+1}, \sqrt{1+\tan x^2}-1 \sim \frac{1}{2} \tan x^2 \sim \frac{1}{2} x^2,
\end{gathered}
$$
由题设知, $4 > n+1 > 2$, 从而正整数 $n=2$.
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