下列命题正确的是
A. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 一定收敛
B. 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 一定收敛
C. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(a_n \neq 0\right)$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 收敛
D. 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛