单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z=1+\mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 是虚数单位), 则 $\frac{z}{z \bar{z}+\mathrm{i}}=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x|| x-1 \mid \leqslant 2\}, B=\left\{x \in \mathbf{Z} \mid x^2-x-6>0\right\}$, 则 $A \cap\left(\complement_U B\right)=$
$\text{A.}$ $\{-1,0,1,2,3\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0,1,2\}$
$\text{C.}$ $[-1,3)$
$\text{D.}$ $[-1,3]$
若 $k \in \mathbf{R}$, 则“ $-2 < k < 2$ ” 是“方程 $\frac{x^2}{3 k+6}+\frac{y^2}{2-k}=1$ 表示椭圆”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若双曲线 $y^2-\frac{x^2}{m^2}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^2+y^2-6 y+1=0$ 相切, 则 $m=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $A(-1,0), B(1,0)$, 若圆 $C:(x-2 a)^2+(y+a-3)^2=1$ 上存在点 $P$, 使得 $|P A|^2+|P B|^2=10$, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{6}{5}\right]$
$\text{B.}$ $\left[-1, \frac{5}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left[-\frac{5}{4}, 1\right]$
$\text{D.}$ $\left[-\frac{6}{5}, 0\right]$
在 $\triangle A B C$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C=120^{\circ}, P$ 为平面 $A B C$ 内一点, 则 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的 最小值是
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-2$
$\text{C.}$ $-3$
$\text{D.}$ $-4$
已知点 $F$ 为抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点, 过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2$, 直线 $l_1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两 点, 直线 $l_2$ 与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, 则 $|A B|+\frac{9}{4}|D E|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 64
$\text{B.}$ 54
$\text{C.}$ 50
$\text{D.}$ 48
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \left[2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right)\right], x < a, \\ x^2-2(a+1) x+a^2+3, x \geqslant a,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恰好有 5 个零点, 则 $a$ 的取值 范围是
$\text{A.}$ $\left[\frac{4}{3}, \frac{11}{6}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{6}\right] \cup\left(\frac{7}{3}, \frac{17}{6}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{11}{6}, \frac{7}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\right] \cup\left(\frac{11}{6}, \frac{7}{3}\right]$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知直线 $l_1: 3 x-4 y+1=0$, 直线 $l_2: 6 x-8 y-3=0$, 过点 $P(0,2)$ 的直线 $l$ 与 $l_1, l_2$ 的交点分别为 $M$, $N$, 且 $|M N|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则直线 $l$ 的方程为
$\text{A.}$ $7 x-y+2=0$
$\text{B.}$ $7 x+y-2=0$
$\text{C.}$ $x+7 y-14=0$
$\text{D.}$ $x-7 y+14=0$
已知函数 $f(x)=\left(\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2}$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 上单调递增
$\text{C.}$ 点 $\left(-\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 是 $f(x)$ 图象的一个对称中心
$\text{D.}$ 将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 所得到的函数图象关于 $y$ 轴对称
过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-1)^2+y^2=9$ 交于 $A, B$ 两点, $M, N$ 是圆 $C$ 上的两点, 且 $|M N|=$ $4 \sqrt{2}$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $|A B|$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$
$\text{B.}$ $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$
$\text{C.}$ $|\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}-2$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}-5$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 点 $P$ 是 $\mathrm{C}$ 的右支上
异于顶点的一点, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$, 则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 记直线 $P A_1$ 与直线 $P A_2$ 的斜率分別为 $k_1, k_2$, 则 $k_1 k_2=1$
$\text{C.}$ 若 $\angle A_1 P A_2=2 \angle P \Lambda_1 \Lambda_2$, 则 $\angle P A_1 A_2=\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ 延长 $P F_2$ 交 $C$ 的右支于点 $Q$, 设 $\triangle P F_1 F_2$ 与 $\triangle Q F_1 F_2$ 的内切圆半径分別为 $r_1, r_2$, 则 $r_1 \cdot r_2=6-4 \sqrt{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知直线 $l_1: a x+3 y+2=0$ 与直线 $l_2: x+(a-2) y-a^2-1=0$ 互相平行, 则 $a=$
已知圆 $C$ 经过两点 $A(0,5), B(3,6)$, 且圆心在直线 $2 x+y-7=0$ 上, 则圆 $C$ 的方程为
在三棱雉 $P-A B C$ 中, $\triangle P B C$ 是等边三角形, 平面 $P B C \perp$ 平面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C$, 且三棱雉 $P-A B C$ 的所有顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上, 则三棱雉 $P-A B C$ 的体积为
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, C$ 的下顶点为 $A$, 离心率为 $\frac{1}{2}$, 过 $F_2$ 且 垂直于 $A F_1$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, $|D E|=8$, 则 $\triangle A D E$ 的周长为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b(\sin B+2 \sin C)=a[\sin (B-C)+2 \sin C]$.
(1) 求证: $c=2(a-b)$;
(2) 若 $c=2, \triangle A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2, a_2=6, a_3=12$, 且数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=a_n \cos n \pi$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 设 $F_1, F_2$ 为 $C$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{7}$, 求直线 $l$ 的方程.
如图, 在直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 四边形 $A B C D$ 是菱形, $A B=2, A A_1=3, \angle B A D=60^{\circ}$, 点 $E$ 是棱 $B B_1$ 上的一点 (与 $B, B_1$ 不重合).
(1)求证: $A C \perp D_1 E$;
(2) 若二面角 $A-E C-B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$, 求直线 $B C_1$ 与平面 $A E C$ 所成角的正 弦值.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $P(0,-4)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 当直线 $l$ 经过点 $F$ 时, 点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 的中点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 是否存在定点 $T$, 使得 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}$ 为常数? 若存在, 求出点 $T$ 的坐标及该常数; 若不存在, 说明 理由.
已知函数 $f(x)=\left|x \mathrm{e}^x-a\right|-a x(\ln x+1)(a \in \mathbf{R})$.
(1) 若 $a=-1$, 证明: $f(x) \geqslant x\left(\mathrm{e}^x+2\right)$;
(2) 若 $f(x)>0$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.