已知函数 $f(x)=\left(\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2}$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ $ \text{B.} $ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 上单调递增 $ \text{C.} $ 点 $\left(-\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 是 $f(x)$ 图象的一个对称中心 $ \text{D.} $ 将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 所得到的函数图象关于 $y$ 轴对称
【答案】 AD

【解析】 $ f(x)=\left(\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2}=\sqrt{3} \cos ^2 \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=\sqrt{3} \cdot \frac{1+\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-$ $\frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故 $f(x)$ 的最小正周期笽 $2 \pi$. 故 A 正确; 当 $x \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时, $x+\frac{\pi}{6} \in$ $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)$. 所以 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 上单调递諴.故 B 错误; $f\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 所以 点 $\left(-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 是 $f(x)$ 图象的一个对称中心, 故 C 错误; 将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y=$ $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}$, 关于 $y$ 轴对称. 故 D正确. 故选 AD.
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