已知函数 $f(x)=\left(\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2}$, 则下列说法正确的是
A. $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$
B. $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 上单调递增
C. 点 $\left(-\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 是 $f(x)$ 图象的一个对称中心
D. 将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 所得到的函数图象关于 $y$ 轴对称