已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 点 $P$ 是 $\mathrm{C}$ 的右支上
异于顶点的一点, 则下列说法正确的是
A. 若 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$, 则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
B. 记直线 $P A_1$ 与直线 $P A_2$ 的斜率分別为 $k_1, k_2$, 则 $k_1 k_2=1$
C. 若 $\angle A_1 P A_2=2 \angle P \Lambda_1 \Lambda_2$, 则 $\angle P A_1 A_2=\frac{\pi}{8}$
D. 延长 $P F_2$ 交 $C$ 的右支于点 $Q$, 设 $\triangle P F_1 F_2$ 与 $\triangle Q F_1 F_2$ 的内切圆半径分別为 $r_1, r_2$, 则 $r_1 \cdot r_2=6-4 \sqrt{2}$