已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \left[2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right)\right], x < a, \\ x^2-2(a+1) x+a^2+3, x \geqslant a,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恰好有 5 个零点, 则 $a$ 的取值 范围是
$ \text{A.} $ $\left[\frac{4}{3}, \frac{11}{6}\right)$ $ \text{B.} $ $\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{6}\right] \cup\left(\frac{7}{3}, \frac{17}{6}\right]$ $ \text{C.} $ $\left[\frac{11}{6}, \frac{7}{3}\right)$ $ \text{D.} $ $\left(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\right] \cup\left(\frac{11}{6}, \frac{7}{3}\right]$
【答案】 D

【解析】 当 $a \leqslant 0$ 时, 对任意的 $x > 0, f(x)=x^2-2(a+1) x+a^2+3$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上至多有 2 个零点, 不合题意, 所以 $a > 0$. 函数 $y=x^2-2(a+1) x+a^2+3$ 的对秒轴为直线 $x=a+1, \Delta=4(a+1)^2-4\left(a^2+3\right)=8 a-8$. 所以 $f(x)$ 在 $[a, a+1)$ 卜单调递减, 在 $(a+1,+\infty)$ 上单调递增, 且 $f(a)=3-2 a$. 当 $\Delta=4(a+1)^2-$ $4\left(a^2+3\right)=8 a-8 < 0$, 即 $0 < a < 1$ 时, 则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上无零点, 所以 $f(x)=\sin \left[2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right)\right]$ 在 $(0, a)$ 上恰有 5 个零点, 当 $0 < x < a$ 时, $\frac{1}{3}-a < x-a+\frac{1}{3} < \frac{1}{3}$, 则 $2 \pi\left(\frac{1}{3}-a\right) < 2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right) < \frac{2 \pi}{3}$, 由题 意可得 $-5 \pi \leqslant 2 \pi\left(\frac{1}{3}-a\right) < -4 \pi$, 解得 $\frac{7}{3} < a \leqslant \frac{17}{6}$, 此时 $a$ 不存在; 当 $\Delta=0$, 即 $a=1$ 时, $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上 只有一个零点, 当 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)=\sin \left(2 \pi x-\frac{4 \pi}{3}\right)$, 又 $-\frac{4 \pi}{3} < 2 \pi x-\frac{4 \pi}{3} < \frac{2 \pi}{3}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上只有 2 个零点, 此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点个数为 3 , 不合题意; 当 $\left\{\begin{array}{l}f(a)=3-2 a \geqslant 0, \\ \Delta=8 a-8 > 0\end{array}\right.$ 即 $1 < a \leqslant \frac{3}{2}$ 时. $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有 2 个零点, 则 $f(x)=\sin \left[2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right)\right]$ 在 $(0, a)$ 上有 3 个零点, 则 $-3 \pi \leqslant 2 \pi\left(\frac{1}{3}-a\right)$ $ < -2 \pi$. 解得 $\frac{4}{3} < a \leqslant \frac{11}{6}$. 所以 $\frac{4}{3} < a \leqslant \frac{3}{2}$; 当 $\left\{\begin{array}{l}f(a)=3-2 a < 0 \\ \Delta=8 a-8 > 0,\end{array}\right.$ 即 $a > \frac{3}{2}$ 时, $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有 1 个零 点, 则 $f(x)=\sin \left[2 \pi\left(x-a+\frac{1}{3}\right)\right]$ 在 $(0, a)$ 上有 4 个零点. 则 $-4 \pi \leqslant 2 \pi\left(\frac{1}{3}-a\right) < -3 \pi$. 解得 $\frac{11}{6} < a \leqslant \frac{7}{3}$. 所以 $\frac{11}{6} < a \leqslant \frac{7}{3}$. 综上. $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\right] \cup\left(\frac{11}{6}, \frac{7}{3}\right]$. 故选 D.
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