已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 设 $F_1, F_2$ 为 $C$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{7}$, 求直线 $l$ 的方程.
【答案】 19. 解: (1) 因为 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 故可设 $a=2 k, c=\sqrt{2} k, b=\sqrt{2} k(k > 0)$,
故 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4 k^2}+\frac{y^2}{2 k^2}=1$,
代人 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 得 $\frac{1}{16 k^2}+\frac{7}{16 k^2}=1$, 解得 $k^2=\frac{1}{2}$,
所以 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.

(2) 易得 $\triangle A B F_1$ 的周长为 $4 a=4 \sqrt{2}$, 故 $S_{\triangle M B F_1}=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{10}}{7}=\frac{4 \sqrt{5}}{7}$. 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 由题意可得直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合, 故可设直线 $l$ 的 方程为 $x=t y+1$.
则 $S_{\triangle M B F_1}=\frac{1}{2} \times 2 \times\left|y_1-y_2\right|=\left|y_1-y_2\right|=\frac{4 \sqrt{5}}{7}$,

由 $\left\{\begin{array}{l}x=t y+1, \\ x^2+2 y^2=2,\end{array}\right.$ 得 $\left(t^2+2\right) y^2+2 t y-1=0$, 此时 $\Delta=8 t^2+8 > 0$,
所以 $y_1+y_2=-\frac{2 t}{t^2+2}, y_1 y_2=-\frac{1}{t^2+2}$.
故 $\left|y_1-y_2\right|=\sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2}=\sqrt{\left(-\frac{2 l}{t^2+2}\right)^2-4\left(-\frac{1}{t^2+2}\right)}=\frac{2 \sqrt{2} \times \sqrt{t^2+1}}{t^2+2}=\frac{4 \sqrt{5}}{7}, \cdots \cdots$
解得 $l=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$, 故直线 $l$ 的方程为 $2 x-\sqrt{6} y-2=0$ 或 $2 x+\sqrt{6} y-2=0$.



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