题号:4155    题型:解答题    来源:山西省2022-2023学年高三上学期第五次联考试题
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 设 $F_1, F_2$ 为 $C$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{7}$, 求直线 $l$ 的方程.
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