在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $A(-1,0), B(1,0)$, 若圆 $C:(x-2 a)^2+(y+a-3)^2=1$ 上存在点 $P$, 使得 $|P A|^2+|P B|^2=10$, 则 $a$ 的取值范围是
$ \text{A.} $ $\left[0, \frac{6}{5}\right]$ $ \text{B.} $ $\left[-1, \frac{5}{4}\right]$ $ \text{C.} $ $\left[-\frac{5}{4}, 1\right]$ $ \text{D.} $ $\left[-\frac{6}{5}, 0\right]$
【答案】 A

【解析】 设 $P(x, y)$, 所以 $|P A|^2+|P B|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=10$, 即 $x^2+y^2=4$, 又点 $P$ 在圆 $C$ 上. 所以 $1 \leqslant \sqrt{(2 a)^2+(3-a)^2} \leqslant 3$, 解得 $0 \leqslant a \leqslant \frac{6}{5}$, 即 $a$ 的取值范围是 $\left[0, \frac{6}{5}\right]$. 故选 A.
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