在三棱雉 $P-A B C$ 中, $\triangle P B C$ 是等边三角形, 平面 $P B C \perp$ 平面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C$, 且三棱雉 $P-A B C$ 的所有顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上, 则三棱雉 $P-A B C$ 的体积为
【答案】 24

【解析】 因为 $A B \perp A C$, 所以 $B C$ 为 $\triangle A B C$ 所在截面圆 $O_1$ 的直径, 义平面 $P B C \perp$ 平面 $A B C, \triangle P B C$ 为等边三角形, 所以 $O$ 在 $P O_1$ 上. 如图所尔. 设 $P B=x(x > 0)$, 则 $B O_1=$ $\frac{1}{2} x, P O_1=\frac{\sqrt{3}}{2} x$, 所以 $P O_1=\frac{\sqrt{3}}{2} x=O O_1+4=\sqrt{16-\left(\frac{1}{2} x\right)^2}+4$, 解得 $x=4 \sqrt{3}$, 所以 $P O_1=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3}=6, B C=4 \sqrt{3}$, メ $A B \perp A C, A B=A C$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C=$ $\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{6}=12$, 所以 $V_{P-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times P O_1=\frac{1}{3} \times 12 \times 6=24$.
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