已知直线 $l_1: 3 x-4 y+1=0$, 直线 $l_2: 6 x-8 y-3=0$, 过点 $P(0,2)$ 的直线 $l$ 与 $l_1, l_2$ 的交点分别为 $M$, $N$, 且 $|M N|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则直线 $l$ 的方程为
$ \text{A.} $ $7 x-y+2=0$ $ \text{B.} $ $7 x+y-2=0$ $ \text{C.} $ $x+7 y-14=0$ $ \text{D.} $ $x-7 y+14=0$
【答案】 AC

【解析】 因为 $3 \times(-8)-(-4) \times 6=0$. 所以 $l_1 / / l_2$. 且直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 之间的距离 $d=\frac{\left|1-\left(-\frac{3}{2}\right)\right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{1}{2}$. 设直线 $l_1$ 的倾斜角为 $\alpha$. 所以 $\tan \alpha=\frac{3}{4}$, Х $|M N|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}+\alpha$ 或 $\frac{3 \pi}{4}+\alpha$. 当直线 $l$ 的 倾斜角为 $\frac{\pi}{4}+\alpha$ 时 $\cdot \tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \alpha}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha}=7$. 所以直线 $l$ 的方程为 $y=7 x+2$. 即 $7 x-y+2=0$. 当直 线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 \pi}{4}+{ }_\alpha$ 时 $\cdot \tan \left(\frac{3 \pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\tan \frac{3 \pi}{4}+\tan \alpha}{1-\tan \frac{3 \pi}{4} \tan \alpha}=-\frac{1}{7}$, 所以直线 $l$ 的方程为 $y=-\frac{1}{7} x+2$. 即 $x+$ $7 y-14=0$. 故选 AC.
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