如图, 在直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 四边形 $A B C D$ 是菱形, $A B=2, A A_1=3, \angle B A D=60^{\circ}$, 点 $E$ 是棱 $B B_1$ 上的一点 (与 $B, B_1$ 不重合).
(1)求证: $A C \perp D_1 E$;
(2) 若二面角 $A-E C-B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$, 求直线 $B C_1$ 与平面 $A E C$ 所成角的正 弦值.
【答案】 (1) 证明: 连接 $B D, B_1 D_1$, 如图所示. 因为四边形 $A B C D$ 是菱形, 所以 $A C \perp B D$, 因为直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 所以 $B B_1 \perp$ 平面 $A B C D$, メ $A C \subset$ 平面 $A B C D$, 所以 $B B_1 \perp A C$, 义 $B D \cap B B_1=B, B D, B B_1 \subset$ 平面 $D B B_1 D_1$, 所以 $A C \perp$ 平面 $D B B_1 D_1$,
义 $D_1 E \subset$ 平面 $D B B_1 D_1$, 所以 $A C \perp D_1 E$.
(2) 解: 记 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $O$, 连接 $A_1 C_1$ 交 $B_1 D_1$ 于点 $O_1$.
以 $O$ 为坐标原点, 分别以 $O A, O B, O O_1$ 所在的直线为 $x$ 轴,$y$ 轴,$z$ 轴建立空间直 角坐标系, 如图所示, 所以 $A(\sqrt{3}, 0,0), C(-\sqrt{3}, 0,0), C_1(-\sqrt{3}, 0,3)$, $B(0,1,0)$, 设 $B E=m(0 < m < 3)$, 故 $E(0,1, m)$.
所以 $\overrightarrow{B C_1}=(-\sqrt{3},-1,3), \overrightarrow{C E}=(\sqrt{3}, 1, m), \overrightarrow{C A}=(2 \sqrt{3}, 0,0), \overrightarrow{B E}=(0,0, m)$.
设平面 $A C E$ 的一个法向量 $\boldsymbol{n}=(x, y, z)$. 所以 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C E}=\sqrt{8} \boldsymbol{x}+y+m z=0 \text {, } \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}}=2 \sqrt{3} x=0,\end{array}\right.$
令 $y=m$, 解得 $x=0, z=-1$. 所以平面 $A C E$ 的隹法向量 $\boldsymbol{n}=(0, m,-1)$.

设平面 $B C E$ 的一个法向量 $\boldsymbol{m}=(a, b, c)$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{C E}=\sqrt{3} a+b+m c=0 \text {, } \\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{B E}=m c=0,\end{array}\right.$
令 $a=1$, 解得 $b=-\sqrt{3}, c=0$, 所以平面 $B C E$ 的一个法向量 $\boldsymbol{m}=(1,-\sqrt{3}, 0)$,
所以 $|\cos \langle\boldsymbol{n}, \boldsymbol{m}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}||\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{3} m}{\sqrt{m^2+1} \cdot \sqrt{1+3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$,
解得 $m=1$,
所以平面 $A C E$ 的一个法向量为 $n=(0,1,-1)$.
设直线 $B C_1$ 与平面 $A E C$ 所成的角为 $\theta$. 所以 $\sin \theta=\frac{\left|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C_1}\right|}{|\boldsymbol{n}| \cdot\left|\overrightarrow{B C_1}\right|}=\frac{4}{\sqrt{1+1} \times \sqrt{3+1+9}}=\frac{2 \sqrt{26}}{13}$,
所以直线 $B C_1$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{26}}{13}$.


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解答题 来源: 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例 (称为病例组), 同时在末患该疾病 的人群中随机调查了 100 人 (称为对照组), 得到如下数据: [img=/uploads/2022/32988a.jpg][/img] (1)能否有 $99 \%$ 的把握认为患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2) 从该地的人群中任选一人, $A$ 表示事件 “选到的人卫生习惯不㿟良好”, $B$ 表示事件“选到 的人患有该疾病”,$\frac{P(B \mid A)}{P(\bar{B} \mid A)}$ 与 $\frac{P(B \mid \bar{A})}{P(\bar{B} \mid \bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一 项度量指标, 记该指标为 $R$. (i) 证明: $R=\frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \cdot \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})}$; (ii) 利用该调查数据, 给出 $P(A \mid B), P(A \mid \bar{B})$ 的估计值, 并利用(i) 的结果给出 $R$ 的估计值. [img=/uploads/2022/46671d.jpg][/img]