已知点 $F$ 为抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点, 过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2$, 直线 $l_1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两 点, 直线 $l_2$ 与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, 则 $|A B|+\frac{9}{4}|D E|$ 的最小值为
$ \text{A.} $ 64 $ \text{B.} $ 54 $ \text{C.} $ 50 $ \text{D.} $ 48
【答案】 C

【解析】 抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点 $F(2,0)$, 因为 $l_1 \perp l_2$, 所以直线 $l_1, l_2$ 斜率存在, 且均不为 0 . 设直线 $l_1$ 的方程为 $y=k(x-2), A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 由 $\left\{\begin{array}{l}y^2=8 x, \\ y=k(x-2),\end{array}\right.$ 得 $k^2 x^2-4\left(k^2+2\right) x+4 k^2=0$, 所以 $x_1+x_2=$ $\frac{4\left(k^2+2\right)}{k^2}$, 所以 $|A B|=x_1+x_2+4=\frac{8\left(k^2+1\right)}{k^2}=8+\frac{8}{k^2}$, 可理可得 $|D E|=8+8 k^2$, 所以 $|A B|+\frac{9}{4}|D E|$ $=8+\frac{8}{k^2}+\frac{9}{4}\left(8+8 k^2\right)=26+\frac{8}{k^2}+18 k^2 \geqslant 26+2 \sqrt{\frac{8}{k^2} \cdot 18 k^2}=50$, 当 月仅当 $\frac{8}{k^2}=18 k^2$, 即 $k=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时取等 号, 故 $|A B|+\frac{9}{4}|D E|$ 的最小值是 50 . 故选 C.
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