已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $P(0,-4)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 当直线 $l$ 经过点 $F$ 时, 点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 的中点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 是否存在定点 $T$, 使得 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}$ 为常数? 若存在, 求出点 $T$ 的坐标及该常数; 若不存在, 说明 理由.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$