已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p > 0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $P(0,-4)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 当直线 $l$ 经过点 $F$ 时, 点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 的中点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 是否存在定点 $T$, 使得 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}$ 为常数? 若存在, 求出点 $T$ 的坐标及该常数; 若不存在, 说明 理由.
【答案】 解: (1) 因为 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right), P(0,-4)$, 且点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 中点, 所以 $A\left(\frac{p}{4},-2\right)$,
Х因为 $A$ 在 $C$ 上. 所以 $(-2)^2=2 p \cdot \frac{p}{4}$, 即 $p^2=8$,
解得 $p=2 \sqrt{2}$. 所以 $C$ 的方程为 $y^2=4 \sqrt{2} x$.
(2) 设 $T(m, n)$, 由题意可知直线 $l$ 斜率存在, 设直线 $l$ 的方程为 $y=k x-4, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$,
由 $\left\{\begin{array}{l}y^2=4 \sqrt{2} x \\ y=k x-4\end{array}\right.$ 得 $k y^2-4 \sqrt{2} y-16 \sqrt{2}=0$. 所以 $y_1+y_2=\frac{4 \sqrt{2}}{k}, y_1 y_2=-\frac{16 \sqrt{2}}{k}$,
所以 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}=\left(x_1-m\right)\left(x_2-m\right)+\left(y_1-n\right)\left(y_2-n\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\left(\frac{\sqrt{2}}{8} y_1^2-m\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{8} y_2^2-m\right)+\left(y_1-n\right)\left(y_2-n\right)=\frac{1}{32} y_1^2 y_2^2-\frac{\sqrt{2}}{8} m\left(y_1^2+y_2^2\right)+m^2+y_1 y_2-n\left(y_1+y_2\right)+n^2 \\
& =\frac{16}{k^2}-\frac{\sqrt{2}}{8} m\left(\frac{32}{k^2}+\frac{32 \sqrt{2}}{k}\right)+m^2-\frac{16 \sqrt{2}}{k}-\frac{4 \sqrt{2} n}{k}+n^2 \\
& =\frac{16-4 \sqrt{2} m}{k^2}-\frac{8 m+16 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} n}{k}+m^2+n^2 \text {. } \\
& \text { 令 }\left\{\begin{array}{l}
8 m+16 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} n=0, \\
16-4 \sqrt{2} m=0,
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$$
解得 $\left\{\begin{array}{l}m=2 \sqrt{2}, \\ n=-8\end{array}\right.$ 即 $T(2 \sqrt{2},-8)$,

此时 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}=m^2+n^2=72$.


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