过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-1)^2+y^2=9$ 交于 $A, B$ 两点, $M, N$ 是圆 $C$ 上的两点, 且 $|M N|=$ $4 \sqrt{2}$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ $|A B|$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$ $ \text{B.} $ $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$ $ \text{C.} $ $|\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}-2$ $ \text{D.} $ $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}-5$
【答案】 ACD

【解析】 设圆心 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d$, 由题意得 $0 \leqslant d \leqslant \sqrt{2},|A B|=2 \sqrt{9-d^2}$, 所以 $|A B|_{\min }=2 \sqrt{9-2}$ $=2 \sqrt{7}$, 故 $\mathrm{A}$ 正确; $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle N X}=\frac{1}{2}|A B| \cdot d=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{9-d^2} \cdot d=\sqrt{9 d^2-d^4}=$ $\sqrt{-\left(d^2-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{81}{4}}$. 当 $d^2=2$ 时. ( $\left.S_{\triangle M E C}\right)_{\max }=\sqrt{14}$, 故 B 错误; 取 $M N$ 的中点 $E$. $~|M N|=4 \sqrt{2}$, 则 $|C E|=\sqrt{9-8}=1$, 即点 $E$ 的轨迹为圆 $(x-1)^2+y^2=1$. 所以 $|\overrightarrow{P E}|_{\text {min }}=|P C|-1=\sqrt{2}-1 .|\overrightarrow{P E}|_{\text {max }}=$ $|P C|+1=\sqrt{2}+1$. 因为 $|\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N}|=2|\overrightarrow{P E}|$. 所以 $|\overrightarrow{P M}+\vec{P} \vec{N}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}-2$. 故 C正确; $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}=(\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{E M}) \cdot(\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{E N})=\left(\overrightarrow{P E}+\frac{1}{2} \overrightarrow{N M}\right) \cdot\left(\overrightarrow{P E}-\frac{1}{2} \overrightarrow{N M}\right)=\overrightarrow{P E^2}-\frac{1}{4} \overrightarrow{N M}=\overrightarrow{P E^2}-8$. 所 以 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 的最大值为 $(\sqrt{2}+1)^2-8=2 \sqrt{2}-5$, 故 D 正确. 故选 ACD.
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