在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b(\sin B+2 \sin C)=a[\sin (B-C)+2 \sin C]$.
(1) 求证: $c=2(a-b)$;
(2) 若 $c=2, \triangle A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
【答案】 (1)证明: 因为 $b(\sin B+2 \sin C)=a[\sin (B-C)+2 \sin C]$,
所以 $b(\sin B+2 \sin C)=a(\sin B \cos C-\cos B \sin C+2 \sin C)$,
由正弦定理得 $b(b+2 c)=a(b \cos C-c \cos B+2 c)=a b \cos C-a c \cos B+2 a c$,
又由余弦定理得 $b(b+2 c)=a b \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}-a c \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}+2 a c=b^2-c^2+2 a c$,
所以 $c^2=2 c(a-b)$, 又 $c > 0$, 所以 $c=2(a-b)$.
(2) 解: 因为 $c=2(a-b)$ 且 $c=2$, 所以 $a-b=1$, 即 $a=1+b$,
义 $\triangle A B C$ 外接圆的半径 $R=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=2 R$, 即 $\sin C=\frac{c}{2 R}=\frac{2}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

因为 $C \in(0, \pi)$, 所以 $C=\frac{\pi}{3}$ 或 $C=\frac{2 \pi}{3}$.
若 $C=\frac{\pi}{3}$, 又 $a=1+b$, 由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C$, 即 $4=(1+b)^2+b^2-(1+b) b$, 解得 $b=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $b=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ (舍去), 所以 $a=1+\frac{-1+\sqrt{13}}{2}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, 所以 $S_{\triangle N B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times \frac{1+\sqrt{13}}{2} \times \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$. 若 $C=\frac{2 \pi}{3}$, 又 $a=1+b$, 由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C$, 即 $4=(1+b)^2+b^2+(1+b) b$, 解得 $b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $b=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (舍去), 所以 $a=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times \frac{1+\sqrt{5}}{2} \times \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. 所以 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{4}$.


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