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试卷18

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 设二维随机变量

(X, Y) \sim N (0, 0; 1, 1; 0), U = a X + b Y, V = c X + d Y

, 其中

a, b, c, d

为实数, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; 0)

是

(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array})

为正交矩阵的

A.

充分必要条件

B.

充分非必要条件

C.

必要非充分条件

D.

非充分非必要条件

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2. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自二项总体

B (5, \frac{1}{3})

的简单随机样本,

\bar{X} =

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

是其样本均值, 则

A.

Cov (X_{i}, \bar{X}) = \frac{5}{3 n}

B.

Cov (X_{i}, \bar{X}) = \frac{10}{9 n}

C.

D (X_{i} + \bar{X}) = \frac{5 (n + 2)}{3 n}

D.

D (X_{i} - \bar{X}) = \frac{10 (n + 2)}{9 n}

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 3)

为来自总体

X

的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望

μ

的无偏估计量的是

A.

\bar{X}

B.

0.1 \times (6 X_{1} + 4 X_{2})

C.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

D.

X_{1} + X_{2} - X_{3}

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4. 已知

E X = - 1, D X = 3

，则

E [3 (X^{2} - 2)] =

A.

B.

C.

D.

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5. 当

X

服从 ________ 分布时，

E X = D X

A.

指数

B.

泊松

C.

正态

D.

均匀

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6. 设

X - b (n, p)

且

E X = 6, D X = 3.6

，则有

A.

n = 10, p = 0.6

B.

n = 20, p = 0.3

C.

n = 15, p = 0.4

D.

n = 12, p = 0.5

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7. 设

p (x, y), p_{ξ} (x), p_{η} (y)

分别是二维随机变量

(ξ, η)

的联合密度函数及边缘密度函数，则 ________ 是

ξ

与

η

独立的充要条件.

A.

E (ξ + η) = E ξ + E η

B.

D (ξ + η) = D ξ + D η

C.

ξ

与

η

不相关

D.

对

\forall x, y

, 有

p (x, y) = p_{ξ} (x) p_{η} (y)

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8. 设总体

Z = X \cos Y

, 其中

X \sim E (λ), Y \sim U (0, a), X

与

Y

相互独立,

a

为已知参数,

λ

为末知参数. 若要利用

Z

的一阶矩对参数

λ

进行矩估计, 则下列

a

的四种取值中, 使得矩估计法可行的是

A.

a = \frac{π}{2}

B.

a = π

C.

a = 2 π

D.

a = 4 π

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9. 设随机变量

X

的分布函数为

F_{X} (x) = {\begin{cases} 0, x < 3 \\ 0.8, 3 ⩽ x < 5 \\ 1, x ⩾ 5 \end{cases}

, 随机变量

Y

的分布函数为

F_{Y} (x) =

{\begin{cases} 0, x < 5 \\ 0.2, 5 ⩽ x < 7 \\ 1, x ⩾ 7 \end{cases}

, 那么下列说法正确的是

A.

P (X + Y = 10) = 0.68

B.

若

X

与

Y

不相关, 则

X

与

Y

独立

C.

X + Y = 10

D.

P (X = 3, Y = 7) = 0.64

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10. 设

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

, 其中

σ_{1} > 0, σ_{2} > 0

, 则下列说法中正确的个数有 ( ) 个。
(1). 令

{\begin{cases} U = \frac{X - μ_{1}}{σ_{1}} \\ V = \frac{Y - μ_{2}}{σ_{2}} \end{cases}

, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; ρ)

(2). (1)的条件下

E ((U - V)^{2}) = ρ

(3). (1)的条件下,

V = v

的条件下:

U \sim N (ρ v, 1 - ρ^{2})

(4). (1)的条件下, 若

ρ = 0

, 那么

E (U^{4} V^{4}) = 3

A.

B.

C.

D.

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11. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

N (0, 1)

的简单随机样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 则

D ({\bar{X}}^{2}) =

A.

\frac{1}{n^{2}}

B.

\frac{2}{n^{2}}

C.

\frac{3}{n^{2}}

D.

\frac{4}{n^{2}}

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12. 设随机变量

X \sim U (0, 3)

, 随机变量

Y \sim λ (2)

, 且

X, Y

的协方差

cov (X, Y) = - 1

, 则

D (2 X - Y + 1)

A.

B.

C.

D.

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13. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

独立同分布, 且

X_{1}

的 4 阶矩存在, 记

E (X_{1}^{k}) = μ_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

,则由切比雪夫不等式, 对任意由

ε > 0

有

P {| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - μ_{2} | \geq ε} \leq

A.

\frac{μ_{4} - μ_{2}^{2}}{n ε^{2}}

B.

\frac{μ_{4} - μ_{2}^{2}}{\sqrt{n} ε^{2}}

C.

\frac{μ_{2} - μ_{1}^{2}}{n ε^{2}}

D.

\frac{μ_{2} - μ_{1}^{2}}{\sqrt{n} ε^{2}}

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14. 设

X \sim N (0, 1)

, 在

X = x

的条件下, 随机变量

Y \sim N (x, 1)

, 则

X

与

Y

的相关系数

ρ_{x y}

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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二、填空题（共 14 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X \sim B (1, \frac{1}{2}), Y \sim P (1), Z = {\begin{cases} 0, X = 0, \\ Y, X = 1, \end{cases}

则

X

与

Z

的相关
系数为

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16. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的样本, 则样本均值

\bar{X} \sim N

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17. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本, 则

E [\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}] =

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18. 设随机变量

X

服从正态分布

N (2, 5)

, 随机变量

Y

服从正态分布

N (1, 4)

, 且

X

与

Y

相互独立, 则概率

P (X ⩽ Y + 4) =

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19. 从正态总体

N (μ, {0.1}^{2})

随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值

\overset{―}{x} = 5

, 则末知参数

μ

的置信度为 0.95 的置信区间是 (用抽样分布的上侧分位点表示).

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20. 设点

P

的坐标

(X, Y)

服从单位圆盘

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 1

上的均匀分布, 以点

P

为圆心, 作能够包含于

D

的最大圆, 记此圆的最高点的纵坐标为

H

, 则

H

的数学期望为

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21. 设

(ξ, η)

的联合密度为

p (x, y) = {\begin{array}{cc} 4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0, & 其它 \end{array} ，

求: (1) 边际密度函数

p_{ξ} (x), p_{η} (y)

；
(2)

E ξ, E η

;
(3)

ξ

与

η

是否独立.

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22. 设随机变量

X

的概率密度函数为

f (x) = {\begin{cases} \frac{[2 \sin x] \cos x}{2^{k}}, & x \in [2 k π, 2 k π + \frac{π}{2}), k 为非负整数, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

[2 \sin x]

表示不超过

2 \sin x

的最大整数, 则

E (\sin X) =

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23. 设二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{C}{{(2 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}, & \frac{x}{\sqrt{3}} < y < x, 0 < x < 1, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

C

为常数.
(I) 求常数

C

;
(II) 求随机变量

Z = \frac{Y}{X}

的分布函数.

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24. 在单位圆盘

{(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

上随机取两个点, 以随机变量

X

表示它们之间的距离, 则

E (X^{2}) =

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25. 袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用

X

表示抽取次数, 则数学期望

E X =

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26. 袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用

X

表示抽取次数, 则数学期望

E X =

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27. 设

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}

为来自总体

X

的样本, 且

X \sim N (1, 2^{2}), \bar{x}

为样本均值,则

D (\bar{x}) =

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28. 设一元线性回归模型为

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i}, i = 1, 2, \dots, n

, 则

E (ε_{i}) =

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

29. 设随机变量

X

的概率密度函数为

f_{X} (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ (x + 2)}, & x ⩾ - 2 \\ 0, & x < - 2 \end{cases}

。设

Y = [X]

, 其中

[x]

为不超过

x

的最大整数。
(1) 求

Y

的分布律;
(2) 设

(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})

为来自总体

Y

的简单随机样本,

\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

, 求

λ

的矩估计量

{\hat{λ}}_{M}

和最大似然估计量

{\hat{λ}}_{L^{\circ}}

。

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30. 已知离散型随机变量的

X

分布函数为

F (x) = {\begin{array}{cc} 0 & x < - 1 \\ 0.4 & - 1 \leq x < 1 \\ 0.6 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & x \geq 2 \end{array}, 求 (1) X 的概率分布; (2) p (x < 2 ∣ x \neq 1) .

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31. 一学校有 1000 名住校生，每人都以

80 %

的概率去图书馆上自习，用中心极限定理求：图书馆至少应设置多少个座位，才能以

99 %

的概率保证去上自习的学生都有座位?

(Φ (2.33) = 0.99)

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32. （证明题）设

X

服从区间

(0, 2)

上的均匀分布，证明:

Y = 2 X^{2}

的密度函数当

0 < y < 8

时，

f_{Y} (y) = 1 / \sqrt{32 y}

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33. 已知随机变量

X

分布律为

求

E (X), D (X)

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34. 游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从电梯底层起行，假设一位乘客于上午 8 时第

X

分到达电梯底层候梯处，且随机变量

X

服从区间

[0, 60]

上的均匀分布, 试求该乘客等候时间的数学期望.

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35. 设

G

是由

X

轴、

Y

轴及直线

2 x + y - 2 = 0

所围成的三角形区域，二维随机变量

(X, Y)

在区域

G

内服从均匀分布. 求

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X, Y}

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36. 已知一批零件的长度

X

(单位:

cm

)服从正态分布

N (μ, 1)

, 从中随机抽取 16 个零件, 得到长度的平均值为

40 cm

, 试求

μ

的置信水平为 0.95 的置信区间?

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37. 设

X_{1}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的独立同分布样本, 且都只取正值, 试求数学期望:

E (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}) .

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38. 已知

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (0, σ^{2})

容量为

n (n > 1)

的简单随机样本, 样本均值与方差分别为

\bar{X}, S^{2}

. 记

{\hat{σ}}^{2} = (n - 1) {\bar{X}}^{2} + \frac{1}{n} S^{2}

, 试求统计量

{\hat{σ}}^{2}

的期望

E {\hat{σ}}^{2}

与方差

D {\hat{σ}}^{2}

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