一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自二项总体 $B\left(5, \frac{1}{3}\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 是其样本均值, 则
$\text{A.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_i, \bar{X}\right)=\frac{5}{3 n}$
$\text{B.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_i, \bar{X}\right)=\frac{10}{9 n}$
$\text{C.}$ $D\left(X_i+\bar{X}\right)=\frac{5(n+2)}{3 n}$
$\text{D.}$ $D\left(X_i-\bar{X}\right)=\frac{10(n+2)}{9 n}$
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n(n \geq 3)$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 $\mu$ 的无偏估计量的是
$\text{A.}$ $\bar{X}$
$\text{B.}$ $0.1 \times\left(6 X_1+4 X_2\right)$
$\text{C.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n$
$\text{D.}$ $X_1+X_2-X_3$
已知 $E X=-1, D X=3$ ，则 $E\left[3\left(X^2-2\right)\right]=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 36
当 $X$ 服从 ________ 分布时， $E X=D X$.
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
设 $X-b(n, p)$ 且 $E X=6, D X=3.6$ ，则有
$\text{A.}$ $n=10, p=0.6$
$\text{B.}$ $n=20, p=0.3$
$\text{C.}$ $n=15, p=0.4$
$\text{D.}$ $n=12, p=0.5$
设 $p(x, y), p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ 分别是二维随机变量 $(\xi, \eta)$ 的联合密度函数及边缘密度函数，则 ________ 是 $\xi$ 与 $\eta$ 独 立的充要条件.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{E} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$
$\text{B.}$ $D(\xi+\eta)=D \xi+D \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $\forall x, y$, 有 $p(x, y)=p_{\xi}(x) p_\eta(y)$
设总体 $Z=X \cos Y$, 其中 $X \sim E(\lambda), Y \sim U(0, a), X$ 与 $Y$ 相互独立, $a$ 为已知参数, $\lambda$ 为末知 参数. 若要利用 $Z$ 的一阶矩对参数 $\lambda$ 进行矩估计, 则下列 $a$ 的四种取值中, 使得矩估计法可行 的是
$\text{A.}$ $a=\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $a=\pi$.
$\text{C.}$ $a=2 \pi$.
$\text{D.}$ $a=4 \pi$.
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 3 \\ 0.8,3 \leqslant x < 5 \\ 1, x \geqslant 5\end{array}\right.$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(x)=$ $\left\{\begin{array}{l}0, x < 5 \\ 0.2,5 \leqslant x < 7 \\ 1, x \geqslant 7\end{array}\right.$, 那么下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(X+Y=10)=0.68$
$\text{B.}$ 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{C.}$ $X+Y=10$
$\text{D.}$ $P(X=3, Y=7)=0.64$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 ( ) 个。
(1). 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
(2). (1)的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
(3). (1)的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
(4). (1)的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
设随机变量 $X \sim U(0,3)$, 随机变量 $Y \sim \lambda(2)$, 且 $X, Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)=-1$, 则 $D(2 X-Y+1) $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且 $X_1$ 的 4 阶矩存在, 记 $E\left(X_1^k\right)=\mu_k(k=1,2,3,4)$,则由切比雪夫不等式, 对任意由 $\varepsilon>0$ 有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq $.
$\text{A.}$ $ \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y \sim N(x, 1)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{x y}$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则样本均值 $\bar{X} \sim N$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,5)$, 随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则概率 $P(X \leqslant Y+4)=$
从正态总体 $N\left(\mu, 0.1^2\right)$ 随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值 $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathbf{5}$, 则末知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 (用抽样分布的上侧分位点表示).
设点 $P$ 的坐标 $(X, Y)$ 服从单位圆盘 $D: x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的均匀分布, 以点 $P$ 为圆心, 作能够 包含于 $D$ 的最大圆, 记此圆的最高点的纵坐标为 $H$, 则 $H$ 的数学期望为
设 $(\xi, \eta)$ 的联合密度为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} ，\right.
$$
求: (1) 边际密度函数 $p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ ；
(2) $E \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$;
(3) $\xi$ 与 $\eta$ 是否独立.
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{[2 \sin x] \cos x}{2^k}, & x \in\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right), k \text { 为非负整数, } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $[2 \sin x]$ 表示不超过 $2 \sin x$ 的最大整数, 则 $E(\sin X)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{C}{\left(2-x^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}}, & \frac{x}{\sqrt{3}} < y < x, 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $C$ 为常数.
(I) 求常数 $C$;
(II) 求随机变量 $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布函数.
在单位圆盘 $\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 上随机取两个点, 以随机变量 $X$ 表示它们之间的距离, 则 $\mathrm{E}\left(X^2\right)=$
袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 为来自总体 $X$ 的样本, 且 $X \sim N\left(1,2^2\right), \bar{x}$ 为样本均值,则 $D(\bar{x})=$
设一元线性回归模型为 $y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i, i=1,2, \cdots, n$, 则 $E\left(\varepsilon_i\right)=$.
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda(x+2)}, & x \geqslant-2 \\ 0, & x < -2\end{array}\right.$ 。设 $Y=[X]$, 其中 $[x]$ 为不超 过 $x$ 的最大整数。
(1) 求 $Y$ 的分布律;
(2) 设 $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 为来自总体 $Y$ 的简单随机样本, $\bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$, 求 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_M$ 和最 大似然估计量 $\hat{\lambda}_{L^{\circ}}$ 。
已知离散型随机变量的 $X$ 分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < -1 \\
0.4 & -1 \leq x < 1 \\
0.6 & 1 \leq x < 2 \\
1 & x \geq 2
\end{array} \text {, 求 }(1) X \text { 的概率分布; (2) } p(x < 2 \mid x \neq 1)\right. \text {. }
$$
一学校有 1000 名住校生，每人都以 $80 \%$ 的概率去图书馆上自习，用中心极限定理求：图书馆至少应设 置多少个座位，才能以 $99 \%$ 的概率保证去上自习的学生都有座位? $(\Phi(2.33)=0.99)$
（证明题）设 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布，证明: $Y=2 X^2$ 的密度函数当 $0 < y < 8$ 时， $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}$.
已知随机变量 $X$ 分布律为
求 $E(X), D(X)$.
游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电 梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从电梯底层 起行，假设一位乘客于上午 8 时第 $\boldsymbol{X}$ 分到达电梯底层候梯处， 且随机变量 $X$ 服从区间 $[0,60]$ 上的均匀分布, 试求该乘客等候 时间的数学期望.
设 $G$ 是由 $X$ 轴、 $Y$ 轴及直线
$$
2 x+y-2=0
$$
所围成的三角形区域，二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 内服从 均匀分布. 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X, Y}$.
已知一批零件的长度 $X$ (单位: $\mathrm{cm}$ )服从正态分布 $N(\mu, 1)$, 从中随机抽取 16 个零件, 得到长度的平均值为 $40 \mathrm{~cm}$, 试求 $\mu$ 的置信水平为 0.95 的置信区间?
设 $X_1, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的独立同分布样本, 且都只取正值, 试求数学期望:
$$
E\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i}\right) .
$$
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 容量为 $n(n>1)$ 的简单随机样本, 样本均值与方差分别为 $\bar{X}, S^2$. 记 $\hat{\sigma}^2=(n-1) \bar{X}^2+\frac{1}{n} S^2$, 试求统计量 $\hat{\sigma}^2$ 的期望 $E \hat{\sigma}^2$ 与方差 $D \hat{\sigma}^2$.