导出试卷

打印试卷试卷白板

试卷2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 18 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x)

, 且满足

f (x) = f (- x), F (x)

为

X

的分布函数, 则对任意实数

a

, 下列式子中成立的是

A.

F (- a) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} f (x) d x

B.

F (- a) = 1 - \int_{0}^{a} f (x) d x

C.

F (a) = F (- a)

D.

F (- a) = 2 F (a) - 1

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设随机变量

X, Y

相互独立,

F_{X} (x)

与

F_{Y} (y)

分别是

X

与

Y

的分布函数, 则随机变量

Z = max {X, Y}

分布函数

F_{Z} (z)

为

A.

max {F_{X} (z), F_{Y} (z)}

B.

F_{X} (z) + F_{Y} (z) - F_{X} (z) F_{Y} (z)

C.

F_{X} (z) F_{Y} (z)

D.

F_{X} (z)

或

F_{Y} (z)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = 0.4 Φ (2 x - 1) + 0.6 Φ (\frac{x - 1}{2})

, 则

E (X) =

A.

-0.4

B.

0.4

C.

-0.8

D.

0.8

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 下列命题中, 正确的是

A.

若随机变量

X, Y

服从标准正态分布, 则

X^{2} + Y^{2} \sim χ^{2} (2)

;

B.

若随机变量

X, Y

满足

P {X + Y = 10} = 1

, 则

ρ_{X Y} = - 1

;

C.

若随机变量

X \sim N (0, 3^{2}), Y \sim N (1, 4^{2})

, 则

X + Y \sim N (1, 5^{2})

;

D.

设随机变量

X, Y

存在数学期望, 则

X, Y

不相关的充要条件是

E (X Y) = E (X) E (Y)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 设

P (x) = {\begin{cases} 2 \sin x, x \in [0, A π] \\ 0, x \notin [0, A π] \end{cases}

。若

P (x)

是某随机变量的密度函数, 则常数

A =

A.

1 / 2

B.

1 / 3

C.

D.

3 / 2

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 设相互独立的随机变量

X

和

Y

的分布函数分别为

F_{X} (x)

和

F_{Y} (y)

. 若这两个函数各有 2 个间断点, 则随机变量

X Y

的分布函数的间断点的个数不可能是

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设二维随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布

N (μ_{1}, μ_{2}; σ^{2}, 1; ρ)

, 则随机变量

X + Y

与

X - Y

是否相关

A.

仅取决于

ρ

的值.

B.

仅取决于

σ^{2}

的值.

C.

取决于

ρ, σ^{2}

的值.

D.

以上说法均不正确.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设离散型随机变量

X

的分布列为

其分布函数为

F (x)

，则

F (3) =

A.

B.

0.3

C.

0.8

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 设离散型随机变量

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} c x^{4}, & x \in [0, 1] \\ 0, & 其它 \end{array} ，则常数 c =

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{1}{4}

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 设

X \sim N (0, 1)

，密度函数

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

，则

φ (x)

的最大值是

A.

B.

C.

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

D.

- \frac{1}{\sqrt{2 π}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 设随机变量

X

可取无穷多个值

0, 1, 2, \dots

, 其概率分布为

p (k; 3) = \frac{3^{k}}{k!} e^{- 3}, k = 0, 1, 2, \dots

，则下式成立的是

A.

E X = D X = 3

B.

E X = D X = \frac{1}{3}

C.

E X = 3, D X = \frac{1}{3}

D.

E X = \frac{1}{3}, D X = 9

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 设

X

服从二项分布

B (n, p)

，则有

A.

E (2 X - 1) = 2 n p

B.

D (2 X + 1) = 4 n p (1 - p) + 1

C.

E (2 X + 1) = 4 n p + 1

D.

D (2 X - 1) = 4 n p (1 - p)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 独立随机变量

X, Y

，若

X \sim N (1, 4), Y \sim N (3, 16)

，下式中不成立的是

A.

E (X + Y) = 4

B.

E (X Y) = 3

C.

D (X - Y) = 12

D.

E (Y + 2) = 16

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

是

n

维列向量, 则下列命题中正确的是

A.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意

s - 1

个向量都线性无关,则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

B.

若

α_{s}

不能由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s - 1}

线性表示, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

必线性无关.

C.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

(\begin{array}{l} α_{1} \\ α_{s} \end{array}), (\begin{array}{l} α_{2} \\ α_{s} \end{array}), \dots, (\begin{matrix} α_{s - 1} \\ α_{s} \end{matrix})

必线性无关.

D.

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, \dots, α_{s - 1} + α_{s}, α_{s} + α_{1}

必线性无关.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 设向量组

a_{1} = (1, - t, 3, 0)^{T}, a_{2} = (0, 2, - t, 2)^{T}, a_{3} = (- 1, 4, - 3, 0)^{T}

, 若

a_{1}, a_{2}, a_{3}

线性相关,则

t =

A.

-4

B.

C.

D.

-2

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 以下结论正确的是

A.

对向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

, 如果

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n} = 0

, 就必有

k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n} = 0

, 则称向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关;

B.

如果有一组不全为零的数

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

, 使得

λ_{1} α_{1} + λ_{2} α_{2} + \dots + λ_{n} α_{n} \neq 0

成立, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关;

C.

若向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关, 则其中每一个向量都能被其余向量线性表示;

D.

若

k_{1} = k_{2} = \dots = k_{n} = 0

, 使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n} = 0

, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性无关.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 下列结论中错误的是

A.

n + 1

个

n

维向量一定线性概关;

B.

n

个

n + 1

维向量一定线性相关;

C.

若

n

个

n

维列向量

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关, 则

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | = 0

;

D.

若

n

个

n

维列向量满足

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | = 0

, 则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性相关.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 设

A

为

m \times n

矩阵, 齐次方程组

A x = 0

仅有零解的充要条件是.

A.

A

的列向量组线性无关

B.

A

的列向量组线性相关

C.

A

的行向量组线性无关

D.

A

的行向量组相关

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、判断题（共 3 题）

19. 设

A

是

n

阶实对称阵, 则

A

为半正定矩阵的充要必要条件是

A

的所有主子式都不小于零.

A.

正确

B.

错误

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 设

f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}

为整系数多项式,

a_{n} \neq 0

, 若有理数

\frac{q}{p}

是

f (x)

的根, 则必有

p ∣ a_{0}

, 且

q ∣ a_{n}

, 其中

p, q

为互素的整数.

A.

正确

B.

错误

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 设

σ

是欧氏空间

V

上的线性变换, 则

σ

是正交变换的充分必要条件是对任意的

α, β \in V

, 有

⟨ α, β ⟩ = ⟨ σ (α), σ (β) ⟩

, 其中

⟨ α, β ⟩

表示

α

与

β

的夹角.

A.

正确

B.

错误

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

22. 设随机变量

X

在区间

[1, 6]

上服从均匀分布，则

P {1 < X < 3} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = {\begin{array}{cc} 0, & x < - 1 \\ 0.3, & - 1 \leq x < 1 \\ 0.6, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2 \end{array}

, 则

X

的分布律为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

24. 若离散型随机变量

X

的分布律为

则常数

a =

; 又

Y = 2 X + 3

, 则

P {Y > 5} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

25. 设

A = (\begin{array}{rrr} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{array}), α = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array}), A α, α

线性相关, 则

a =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

26. 设

A

是

5 \times 4

矩阵,

A

的秩为 2 , 则齐次线性方程组

A x = 0

的一个基础解系中含有解的个数为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

四、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

27. 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} A \sin x, 0 < x < π \\ 0, & 其他 \end{array}

,
求: (1) 常数

A

的值;
(2) 随机变量

X

的分布函数

F (x)

;
(3)

P {\frac{π}{3} \leq X \leq \frac{π}{2}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

28. 从一副 52 张扑克牌中任意取出 5 张. 设

X

: 取出的 5 张牌中的“黑桃"张数.
(1) 求

X

的分布律 (5 分)；
(2) 写出

X

的分布函数

F (x)

(4 分).

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

29. 设随机变量

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} a x^{2} + b x + c & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{array}

并且已知

E (X) = 0.5, var (X) = 0.15

，试求系数

a, b, c

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

30. 某种型号的电子元件的使用寿命

X

(单位：小时）具有以下的密度函数：

p (x) = {\begin{cases} \frac{1000}{x^{2}} & x > 1000 \\ 0 & x \leq 1000 \end{cases}

(1) 求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 (4 分)；
(2) 已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时，求该元件的使用寿命大于 2000 小时的概率 (5 分).

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

31. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为两两正交的单位向量, 又

β \neq 0

且

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β

线性相关,令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) (\begin{array}{l} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ α_{3}^{T} \end{array})

.
(I) 证明:

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

唯一线性表示;
(II) 验证

β

为矩阵

A

的特征向量, 并求相应的特征值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

32. 设数域

P

上多项式

f (x) = x^{5} + x^{4} + 2 x^{2} + 1, g (x) = x^{4} - x^{2} + 2 x - 1

, 求

f (x)

与

g (x)

的首 1 最大公因式

(f (x), g (x))

, 以及多项式

u (x), v (x)

, 使得

u (x) f (x) + v (x) g (x) = (f (x), g (x))

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

33. 设

n

维列向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，

A

为

n

阶方阵，证明: 向量组

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性相关。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

34. 设

α_{1} = [\begin{matrix} 1 + λ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], α_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 + λ \\ 1 \end{matrix}], α_{3} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 + λ \end{matrix}], β = [\begin{matrix} 0 \\ λ \\ λ^{2} \end{matrix}]

，问

λ

取何值时，
(1)

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式唯一?
(2)

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，且表达式不唯一?
(3)

β

不能由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示?

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

35. 已知向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} (s \geq 2)

线性无关，设

\begin{aligned} β_{1} = α_{1} + α_{2}, β_{2} = α_{2} + α_{3}, \dots, \\ β_{s - 1} = α_{s - 1} + α_{s}, β_{s} = α_{s} + α_{1} \end{aligned}

讨论向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

的线性相关性.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

36. 设

A = E - ξ ξ^{T}

，其中

E

是

n

阶单位矩阵，

ξ

是

n

维非零列向量，

ξ^{T}

是

ξ

的转置，证明:
(1)

A^{2} = A

的充要条件是

ξ^{T} ξ = 1

；
(2) 当

ξ^{T} ξ = 1

时，

A

是不可逆矩阵.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

37. 已知

A = (\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ - 1 & 3 & 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6 \end{array})

, 试求(1) 将矩阵

A

变为行最简形矩阵; (2) 求矩阵

A

列向量组的一个最大无关组; (3) 将不属于最大无关组的向量用最大无关组表示。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

38. 给定向量组

α_{1} = (1, - 1, 0, 4), α_{2} = (2, 1, 5, 6), α_{3} = (1, - 1, - 2, 0), α_{4} = (3, 0, 7, k)

.
(1)当

k

为何值时, 向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。

他的试卷

试卷1 试卷001 试卷000 试卷99 试卷98