一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设函数 $f(x), g(x)$ 二阶可导且二阶导函数在 $x=a$ 处连续, 若 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}>0$, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在 $a$ 的某邻域内, $f(x) \geqslant g(x)$.
② 在点 $(a, f(a))$ 处, $y=f(x)$ 的曲率大于 $y=g(x)$ 的曲率.
③ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极大值点.
④ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极小值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极小值点.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 3个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, $f(1)=1$, 且对任意正数 $a, b, \int_{\frac{1}{a+b}}^{\frac{1}{a}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值仅与 $b$ 有关, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $f(x)>0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调函数.
$\text{D.}$ 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为凸曲线.
已知函数 $f(x, y)=|x-y| g(x, y)$, 其中 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内有定义, 则 $f(x, y)$在点 $(0,0)$ 处偏导数存在的充分条件是
$\text{A.}$ $g(0,0)=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} g(x, y)$ 存在且 $g(0,0)=0$.
$\text{D.}$ $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $g(0,0)=0$.
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设函数 $f(x)$ 连续, 满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 若 $\int_0^1 \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x=1$, 则 $\int_0^1 x \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x$ $= $
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ e
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$, 其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $f(0,0)=0$, $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续, 偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$.
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微, 且取极值
$\text{B.}$ 可微但不取极值
$\text{C.}$ 不可微,但取极值
$\text{D.}$ 不可微,也不取极值
若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y=1}} \frac{f(x, y)-2 x+4 y-1}{\sqrt{x^2+y^2-2 x-2 y+3}-1}=2$, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处不存在偏导数.
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处存在偏导数但不可微.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=-2 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y$.
二、填空题 （共 32 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $D$ 是由曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为 $\rho(x, y)=3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$ ，则该零件的质量为
设 $f(x)=x e^x$, 求 $f^{(n)}(x), n \geq 1$;
求函数 $\arccos x$ 的Maclaurin展开式（到4阶）。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
设 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
$f(x)=x^{\sin x}+(\cos x)^x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}, \quad|x| < 1$
$f(x)=x \arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)$
$f(x)=x+2 x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
差分方程 $y_{x+1}-3 y_x=2+x \cdot 3^x$ 的通解为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2+x y}-\sqrt{2}}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为
由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
一水平横放的圆柱形油桶, 设 $F_1$ 为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力, $F_2$ 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则 $\frac{F_1}{F_2}= $.
设 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ 在坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 下关于 $u, v$ 变量的表达式为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2-2 x=2 \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数, 则曲线 $y=y(x)$ 的拐点是
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$