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试卷98

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2} - 1}}, & | x | < 1, \\ x^{4} - b x^{2} + c, & | x | ⩾ 1 \end{cases}

是可微函数, 则

b + c =

A.

B.

C.

D.

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2. 设

f (x)

在

x = 0

某邻域内有连续的二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{x f^{'} (x)}{x - \sin x} = 1

, 则

A.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极大值点.

B.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极小值点.

C.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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3. 设函数

f (x), g (x)

二阶可导且二阶导函数在

x = a

处连续, 若

lim_{x \to a} \frac{f (x) - g (x)}{(x - a)^{2}} > 0

, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在

a

的某邻域内,

f (x) ⩾ g (x)

.
② 在点

(a, f (a))

处,

y = f (x)

的曲率大于

y = g (x)

的曲率.
③ 若

x = a

为

f (x)

的极大值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极大值点.
④ 若

x = a

为

f (x)

的极小值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极小值点.

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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4. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

.
(2) 若

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

.
(3) 若

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限.
(4) 若

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限.

A.

0个

B.

1个

C.

2个

D.

3个

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5. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上连续,

f (1) = 1

, 且对任意正数

a, b, \int_{\frac{1}{a + b}}^{\frac{1}{a}} f (x) d x

的值仅与

b

有关, 则下列说法中, 错误的是

A.

f (x) > 0

B.

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

C.

f (x)

在

(0, + \infty)

上是单调函数.

D.

曲线

y = f (x)

在

(0, + \infty)

上为凸曲线.

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6. 已知函数

f (x, y) = | x - y | g (x, y)

, 其中

g (x, y)

在点

(0, 0)

的某邻域内有定义, 则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处偏导数存在的充分条件是

A.

g (0, 0) = 0

B.

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} g (x, y)

存在.

C.

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} g (x, y)

存在且

g (0, 0) = 0

D.

g (x, y)

在点

(0, 0)

处连续, 且

g (0, 0) = 0

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7. 设正值函数

f (x, y, z)

与

g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处的各个偏导数均存在且连续,

f (0, 0, 0) =

g (0, 0, 0) = 1, f (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial f}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 1, g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial g}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 2

, 则

{\frac{\partial (\frac{1}{f} + \frac{1}{g})}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} =

A.

B.

C.

-1

D.

-3

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8. 设

f (x, y)

为可微函数,

f_{y}^{'} (x, x + y) = 2 y, f (x, x) = x^{2}

, 则

f_{x}^{'} (x, y) =

A.

4 x

B.

4 x + 2 y

C.

2 y

D.

4 x - 2 y

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9. 设函数

f (x)

连续, 满足

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0

. 若

\int_{0}^{1} e^{1 - x} f (x e^{1 - x}) d x = 1

, 则

\int_{0}^{1} x e^{1 - x} f (x e^{1 - x}) d x

=

A.

-1

B.

C.

D.

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10. 若二元函数

f (x, y)

存在二阶连续偏导数, 且满足

f (x, y) = - f (y, x)

, 则下列结论中, 错误的是

A.

f_{11}^{''} (x, y) = f_{22}^{''} (x, y)

B.

f_{11}^{''} (x, y) = - f_{22}^{''} (y, x)

C.

f_{12}^{''} (x, y) = f_{21}^{''} (x, y)

D.

f_{12}^{''} (x, y) = - f_{21}^{''} (y, x)

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11. 已知二元函数

F (x, y) = f (x, y) φ (x, y)

, 其中

φ (x, y)

在点

(0, 0)

处连续, 且

f (0, 0) = 0

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} f_{x}^{'} (x, y) = lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} f_{y}^{'} (x, y) = 0

, 则

F (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

不连续

B.

连续, 但偏导数不存在

C.

连续, 偏导数存在但不可微

D.

可微

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12. 设

f (x, y)

为可微函数,

f_{y}^{'} (x, x + y) = 2 y, f (x, x) = x^{2}

, 则

f_{x}^{'} (x, y) =

A.

4 x

B.

4 x + 2 y

C.

2 y

D.

4 x - 2 y

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13. 设

f (x, y) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array}

则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

可微, 且取极值

B.

可微但不取极值

C.

不可微,但取极值

D.

不可微,也不取极值

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14. 若函数

z = f (x, y)

在点

(1, 1)

处连续, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y = 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x + 4 y - 1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 3} - 1} = 2

, 则

A.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处不存在偏导数.

B.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处存在偏导数但不可微.

C.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

{d z |}_{(1.1)} = 2 d x - 4 d y

D.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

{d z |}_{(1.1)} = - 2 d x + 4 d y

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二、填空题（共 26 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 设

D

是由曲线

\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1

及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为

ρ (x, y) = 3 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y}

，则该零件的质量为

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16. 设

f (x) = x e^{x}

, 求

f^{(n)} (x), n \geq 1

;

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17. 求函数

\arccos x

的Maclaurin展开式（到4阶）。

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18. 设函数

y = y (x)

由方程

x = t + \sin t

及

y = \arctan t - y^{3} (t > 0)

所确定, 求

\frac{d y}{d x}

;

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19. 设

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}

, 则

f^{(n)} (0) =

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20. 设函数

f (x)

连续,

F (t) = \int_{0}^{1} d x \int_{1}^{\frac{1}{x}} x^{3} u f (x u) d u

, 则

F^{'} (t) =

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21.

f (x) = x^{\sin x} + (\cos x)^{x}, x \in (0, \frac{π}{2})

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22.

f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}, | x | < 1

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23.

f (x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})

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24.

f (x) = x + 2 x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0

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25. 设

y = \ln (x^{2} + e^{3 x})

, 则

d y =

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26. 位于曲线

y = \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} (x \geq 0)

下方、

x

轴上方的无界图形的面积为

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27. 设某商品的需求函数为

Q = 100 - 2 p^{2}

, 则当

p = 5

时的边际需求为

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28. 设

z = \sin x + \sin (x y) + \int_{0}^{x + y} e^{t^{2}} d t

, 则

{d z |}_{(0, 0)} =

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29. 差分方程

y_{x + 1} - 3 y_{x} = 2 + x \cdot 3^{x}

的通解为

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30. 曲线

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln \sqrt{1 + t^{2}} \end{cases}

对应于

t = 1

处的法线方程为

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31.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y}{\sqrt{2 + x y} - \sqrt{2}} =

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32. 圆

x^{2} + y^{2} = 3

上到点

(0, 0), (2, 0), (0, 1)

的距离的平方和最小的点为

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33. 由方程

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 (x^{2} - y^{2})

确定的隐函数

y = y (x)

的极大值为

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34. 设

f (x, y)

具有二阶连续偏导数, 且

f (x, x^{2}) = x^{2}, f_{x y}^{''} (x, y) = 2 x y, f_{x}^{'} (x, 0) = 2 x

, 则

d f (1, 1)

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35. 设

x = u \cos \frac{v}{u}, y = u \sin \frac{v}{u}

, 其中

u > 0, \frac{v}{u} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

, 则

\frac{\partial v}{\partial x} =

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36. 一水平横放的圆柱形油桶, 设

F_{1}

为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力,

F_{2}

为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则

\frac{F_{1}}{F_{2}} =

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37. 设

z = f (x, y)

具有二阶连续偏导数，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}

在坐标变换

{\begin{cases} u = x^{2} - y^{2} \\ v = 2 x y \end{cases}

下关于

u, v

变量的表达式为

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38. 设

y = y (x)

是由方程

y^{2} - 2 x = 2 e^{y}

所确定的隐函数, 则曲线

y = y (x)

的拐点是

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39.

lim_{(x, y) \to (+ \infty, 2)} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{2 x^{2}}{x + y}} =

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40. 设

z = {(e^{x y} + x)}^{x}, {d z |}_{(1, 0)} =

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