一、单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设函数 在区间 内有定义, 且 , 则 ( )
当 在 处可导.
当 在 处可导.
当 在 处可导时, .
当 在 处可导时, .
2. 设数列 与 满足 , 则下列命题正确的是
若 发散, 则 必发散
若 收敛, 则 必收敛
若 有界,则 必为无穷小
若 有界,则 必为无穷小
3. 设函数 , 则
!.
.
!.
0
4. 设函数 具有 2 阶导数, 且 , 则
.
.
.
.
5. 的渐近线条数是
0
1
2
3
6. 设 , 则方程 的实根个数为
1
2
3
4
7. 设函数 具有三阶导数, 且 , 则
是曲线 的拐点.
是函数 的极大值点.
是函数 的极小值点.
以上结论都不正确.
8. 曲线 在点 处的法平面方程为
.
.
.
.
二、填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
9.
10. 设 , 则
11. 求曲线 在点 处的切线方程
12. 求曲线 的渐近线个数
13. 在区间 上, ，写出 的大小关系
14. 设函数 的参数方程为 ，当 时，判断 的单调性和凹凸性
15. 设函数 由参数方程 确定, 则曲线 在参数 对应的点处的曲率
16. 设函数 由参数方程 确定, 则曲线 的斜渐近线方程为
17. 设 是 上的正值连续函数，满足:
设
证明: 序列 单调递增且收敛.
18. (1) , 证明 收敛.
(2) 设 为单调递增函数, 且 有界,
设 ，数列 满足:
证明: .
三、解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19. 设函数 在闭区间 上有二阶导数，且
证明: 存在 ，使得 .
20. 利用致密性定理证明闭区间上的连续函数必然是有界的.
21. 已知函数 在 上有一阶连续导数, 且在开区间内一点 处与直线 相切. 证明: 且 , 使得 .
22. 证明极限 .
23. 设 , 证明
(I) 函数 单调递增;
(II) .
24. 设 在 上连续, , 且对任意的 , , 证明在 内存在一点 , 使 .
25. (1) 设 在 上连续，证明:
(2) 在 (1) 的条件下，若 为 的对称轴
证明:
26. 设 在 上连续， 内可导， 证明:
27. 对函数 在 上应用积分中值定理，有 其中 ，计算
28. 设 在 上连续, 在 内可导且
证明: ，使得
29. 将函数 在点 处展为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.
30. 设曲线段 是由函数 在 上给出, 其中 在 上连续可微. 证明: 在 上存在一点 , 使得 点处的切线 夹在平行直线 和 之间的线段长度恰巧等于 的弧长.
31. 设函数 可微, 曲线 在点 处的切线方程为 , 求极限
32. 设 在 上连续, 记 .
(1) 证明: 若对 , 有 , 则必有
(2) 反之, 若对 , 有 , 是否必有
请给出你的证明或反例.
33. 设函数 在 上可导, 且 . 证明：
(I) 存在 , 使得 ;
(II) 存在与 (I) 中 相异的点 , 使得 .
34. 设数列满足条件: , 其中 .求证 收敛.
35. 对给定的 值, 方程 有唯一解
36. 设数列 满足: 证明: 收敛, 并求 .
37. 若 为 上的单调增加的连续函数, 证明:
38. 证明: ;
(2) 求极限 。