一、单选题 （共 23 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列各式正确的是:
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=-e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域有定义, 则它在该点处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{D.}$ $\gamma, \alpha, \beta$.
设常数 $a>0$, 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $\ln x \leqslant x^a$, 则
$\text{A.}$ $a \geqslant \mathrm{e}$.
$\text{B.}$ $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ $0 < a < $ e.
$\text{D.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$.
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $m>-2$ 且 $n-m>1$.
$\text{B.}$ $m>0$ 且 $n-m>1$.
$\text{C.}$ $m>0$ 且 $n-m < 1$.
$\text{D.}$ $m>-2$ 且 $n-m < 1$.
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
设 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta x} \cos q x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=q^2$.
$\text{B.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=p^2+q^2$.
$\text{C.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{p}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{1}{p^2+q^2}$.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
设常数 $\alpha>0, \beta>0$, 若反常积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{1}{(-\cos x)^\alpha(1+\cos x)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < 1$.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是 ( ).
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
下列数列中哪个是收敛数列
$\text{A.}$ $x_n=\sin n$
$\text{B.}$ $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
$\text{C.}$ $x_n=n-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $x_n=(-1)^n+ \sin n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 第二类间断点
设 $f(x)=\arcsin x$, 则 $f^{\prime \prime}(0)$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=12, n=4$
$\text{B.}$ $a=12, n=3$
$\text{C.}$ $a=6, n=4$
$\text{D.}$ $a=6, n=3$
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的二阶偏导数 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0), f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)$ 均存在, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
$\text{D.}$ $f^{\prime} y(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
②$\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
③$\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
④$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ ①④②③
$\text{B.}$ ②④①③
$\text{C.}$ ①④③②
$\text{D.}$ ④②①③
2. 如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
②. 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
③. 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
④. 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ ②
$\text{B.}$ ①③④
$\text{C.}$ ②④
$\text{D.}$ ①③
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
二、填空题 （共 22 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2+3 x-10}{x-2} & x \neq 2 \\ a & x=2\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续, 则 $a=$
函数 $f(x)=\frac{|x|}{\sin x}$ 的间断点为
函数 $y=2 x^2-\ln x$ 的单调减区间为
椭圆曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 相应的点处的切线方程为
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^n}{\mathrm{e}^{x^2}}$, 则 $f^{(n)}(-1)=$
$\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\cos \frac{x^2}{y}\right)^{\frac{y^2+x}{x^3}}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2+x^2}$.
设函数 $f(u)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, 且 $z=f\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2 x}\left(z+\mathrm{e}^x \cos y\right) .
$$
(I) 验证: $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=u$;
(II) 若 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$, 求出函数 $f(u)$ 的表达式.
求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,4]$, 则函数 $f\left(x^2\right)$ 的定义域是
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$
曲线 $y=\frac{x^2}{9 x^2-1}$ 的水平渐近线方程为
函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ 的导数 $f^{\prime}(x)=$.