一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $1 < x < 3$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2024+x^n+x^{2 n}+\frac{1}{3^n} x^{3 n}}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $x$.
$\text{C.}$ $x^2$.
$\text{D.}$ $\frac{x^3}{3}$.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
设函数$f(x)$在$R$上处处有定义，且$f(0)=0$，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f(x) \sim \sin ^2 x$, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{B.}$ 若 $0 \leqslant f(x) \leqslant \sin ^2 x$ 恒成立, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{C.}$ 若在 $[0,+\infty)$ 上 $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, 在 $(-\infty, 0)$ 上 $h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$, 且当 $x \rightarrow 0$时, 函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都是 $x$ 的同阶无穷小, 则 $f(x)$ 也是 $x$ 的同阶无穷小.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f^{\prime}(0)$ 存在且不为 0 ,则 $f(x)$ 是 $x$ 的同阶无穷小.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\tan h-h)}{h^3}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\ln (1+h)-h)}{h^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\arctan h-h)}{h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h}$ 存在.
已知函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数且 $f(0) \neq 0$, 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}-\frac{1}{x^2 f\left(x^2\right)}\right]=$
$\text{A.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{B.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{C.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\text{D.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^x+\frac{a x^2+b x}{1-\sin x}\right)^{\cot ^2 x}=1$, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
已知 $a, b$ 均为常数, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}\left[\int_0^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t+a\right]=b$, 则
$\text{A.}$ $a$ 为任意常数, $b=0$
$\text{B.}$ $a$ 为任意常数, $b=-1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=0$
$\text{D.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=-1$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] \mathrm{d} t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{(\arctan x)^2}=$
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上具有连续导数, $f(1)=1, g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数, 且满足 $\int_1^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=$ $x \ln x$, 则在 $[1,+\infty)$ 上 $f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \arctan 2 x}-\frac{1}{2 \sin ^2 x}\right)=$
设 $a>0, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{a \mathrm{e}^{2|x|}+\mathrm{e}^{|x|}}-a(x+\ln |x|) \mathrm{e}^{|x|}}{\sqrt{x^2+\ln |x|} \mathrm{e}^{|x|}}$ 存在, 则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{n}{(n+1) !}\right]^{2 n \cdot n !}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x} \int_0^x\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f^{(4)}(0)=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数 $z=f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^y\right) \cos x-y \mathrm{e}^y$ 的极值.
求函数极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x \cdot(1+x)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{e x}\right)$.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{|x|^a|y|^a}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，证明:
(1) 当 $a>1$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
(2) 当 $a>\frac{3}{2}$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
利用麦克劳林公式求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x>0 \\ a+x^2, x \leq 0\end{array}\right.$, 问 $a$ 为何值时 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在? 极限值为多少?
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}}{n \ln n}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(n \sin \frac{1}{n}-1\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^2 x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
已知函数 $f(x)$ 可导, 设 $g(x)=\arctan [f(x)], f^{\prime}(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$, 则 $f(0)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \cdot \sin \left(x^2\right)}$.
设 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=1$ ，分析
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
g(x) \sin \left(\frac{1}{x}\right), x>0, \\
g(x) \cos x, x \leq 0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$