一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)=\int_x^{x^2}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t, x>1$, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{f(n)}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小量.
$\text{B.}$ 同阶非等价无穷小量.
$\text{C.}$ 高阶无穷小量.
$\text{D.}$ 低阶无穷小量.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=4$, 则 $\int_0^1\left[f(x) \int_x^1 f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是（
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
给定总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right) ， \sigma^2$ 已知，给定样本 $X_1, X_2$, $\cdots, X_n$ ，对总体均值 $\boldsymbol{\mu}$ 进行检验，令
$$
H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0,
$$
则
$\text{A.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时也拒绝 $\boldsymbol{H}_0$
$\text{B.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时拒绝 $H_0$
$\text{C.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时接受 $H_0$
$\text{D.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时也接受 $\boldsymbol{H}_{\mathbf{0}}$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$ ，求 $y^{(n)}$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
设 $f(x)=x \mathrm{e}^x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left[\frac{f^{(k)}(0)}{n}\right]=$
若 $a>2, b, c \neq 0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{b \sin x-\int_{c x^3}^{b x} e^{-t^a} \mathrm{~d} t}{x-\sin x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2 x}{3 \theta^2}, & < x < 2 \theta \\
0 & \text {, 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\boldsymbol{\theta}$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $c \sum_{i=1}^n \boldsymbol{X}_i^2$ 是 $\theta^2$ 的无偏估计，则常数 $c=$ $\qquad$
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本。
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{x}=9.5$ ，参数 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\boldsymbol{\mu}$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为
三、解答题 （ 共 23 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{(1+x)}\right)^{1+x}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x}
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个9 }}=1$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
设 $a_1=a>0, a_2=b>0$, 且满足 $a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^2}+\frac{1}{a_n^2}, \quad n=1,2,3$ 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
设 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $-1 < x_0 < 0, x_{n+1}=x_n^2+2 x_n(n=0,1,2, \cdots)$,证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{x \rightarrow 0} x_n$
设 $\lambda>1, a=\lambda^{\frac{1}{\lambda}}$ , $a_1=a, a_2=a^{a_1}, \cdots, a_{n+1}=a^{a_n}, \cdots .$
试问 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在? (请详细说明理由). 如果存在的话, 求出此极限值.
设正数列 $A$ 满足$x_{n+1} \leqslant x_n+\frac{1}{n^2},$ 求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $a_1=\sqrt{1+2015}, a_2=\sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016}}, \cdots$,
$$
a_n=\sqrt{(1+2015 \sqrt{(1+2016 \sqrt{(1+\cdots+(2014+n) \sqrt{1+(2013+n)})})}}
$$
求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 的值
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$, 其中 $y_n=1+\frac{y_{n-1}}{1+y_{n-1}}, y_0=1$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=a>1$, 且满足递推
$$
x_{n+1}=1+\ln \left(\frac{x_n^2}{1+\ln x_n}\right), n=2,3, \cdots
$$
求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求出极限值
设 $x_1>x_2>0, x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} x_n}$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求极限
设 $x_1=a \geqslant 0, y_1=b \geqslant 0$, 且
$x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}, y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+y_n\right), n=1,2, \cdots \text {, }$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
若 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^4+3}-\left[A+B(x-1)+C(x-1)^2\right]}{(x-1) \sin (x-1)}=0$, 求常数 $A, B, C$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^2}{x^3} e^{-\frac{\theta}{x}}, x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数且大于零， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^2}{x^3} e^{-\frac{\theta}{x}}, x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数且大于零， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$的简单随机样本。
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\
0, \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
(2) 确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\ 0, \text { 其他, }\end{array}\right.$其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
（2）确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计。
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的. 设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n) .
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1) 求 $Z_1$ 的概率密度；
(2) 利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量;
(3) 求 $\sigma$ 的最大似然估计量.
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的，设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1)求 $Z_i$ 的概率密度；
(2)利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量；
(III)求 $\sigma$ 的最大似然估计量.
已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty ，
$$
$\sigma$ 为大于 0 的未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(1)求 $\hat{\sigma}$ ；
(2)求 $E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$.
已知总体 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty ，
$$
$\sigma$ 为大于 0 的未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(1)求 $\hat{\sigma}$ ；
(2)求 $E(\hat{\sigma}) ， D(\hat{\sigma})$.