一、单选题 （共 22 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_1\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$, 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text { ，若 } P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) \text { ， }
$$
$Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，且 $B$ 可逆，则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组等价
矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，且 $B$ 可逆，则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0 ， b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设$A,B$是可逆矩阵，且$A,B$相似，则下列错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] ， B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ ${A}$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式， $\boldsymbol{A}_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $A$ 的行列式， $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ 且 $A^3=0$ 。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X-X A^2-A X+A X A^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) ， \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 $A \alpha_1, A \alpha_2, A \alpha_3$ 的秩为
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right], \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 $\boldsymbol{A} \alpha_1, \boldsymbol{A} \alpha_2, A \alpha_3$ 的秩为
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关向量组. 若
$$
\begin{aligned}
& A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2 ， A \alpha_2=\alpha_2+\alpha_3 ， A \alpha_3=\alpha_1+\alpha_3 ， \\
& \text { 则 }|A|=
\end{aligned}
$$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量组 $\alpha_1=(1,0,1)^T ， \alpha_2=(0,1,1)^T ， \alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组
$$
\beta_1=(1,1,1)^T, \quad \beta_2=(1,2,3)^T, \quad \beta_3=(3,4, a)^T
$$
线性表示.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
设向量组 $\alpha_1=(1,0,1)^T ， \alpha_2=(0,1,1)^T ， \alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组
$$
\beta_1=(1,1,1)^T, \quad \beta_2=(1,2,3)^T, \beta_3=(3,4, a)^T
$$
线性表示。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵.
（1）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似.
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right) ， E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $B$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ 且 $A^3=0$ 。
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2=E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，求 $X$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$.
当 $a$ 为何值时，方程 $A X=B$ 无解、有唯一解，有无穷多解?
在有解时，求解此方程.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求方程组 $A^T A x=A^T \beta$ 的通解
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 求方程组 $A^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{\beta}$ 的通解
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$.
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$.
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 。
(1) 求 $a$ ；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.