一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 是 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $A^* x=0$的基础解系可为
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，旦 $B$ 可逆 则
$\text{A.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设 $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设 $\alpha$ 为 $n$ 维单位列向量， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $E-\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{B.}$ $E+\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{C.}$ $E+2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{D.}$ $E-2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_2+2 \alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2$
设 $\alpha$ 为 $\boldsymbol{n}$ 维单位列向量， $E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $E-\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{B.}$ $E+\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{C.}$ $E+2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{D.}$ $E-2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$,
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
设某产品的成本函数 $C(Q)$ 可导，其中 $Q$ 为产量，若产量为 $Q_0$ 时平均成本最小，则
$\text{A.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=0$
$\text{B.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
$\text{C.}$ $C^{\prime}\left(Q_0\right)=Q_0 C\left(Q_0\right)$
$\text{D.}$ $Q_0 C^{\prime}\left(Q_0\right)=C\left(Q_0\right)$
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $|A|=3 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B ，$ 则 $\left|B A^*\right|=$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $|A|=3 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B$ ，则 $\left|B A^*\right|=$
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x}, y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 $y=$
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x} ， y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足的条件 $\left.y\right|_{x=0}=\left.0 ， y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ 的解为 $y=$
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式， $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式.若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=e^3$的解为 $y=$
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
以 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
二阶矩阵 $A$ 有两个不同的特征值， $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关的特征向量， $A^2\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ ，则 $|A|=$ $\qquad$
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int e^x \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~d} x=$
设函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x),
$$
且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似。
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^2+y^2 y^{\prime}=1-y^{\prime}$ ，且 $y(2)=0$ ，求 $y(x)$ 的极大值与极小值.
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $R^3$ 的一个基，
$$
\beta_1=2 \alpha_1+2 k \alpha_3, \beta_2=2 \alpha_2, \beta_3=\alpha_1+(k+1) \alpha_3 \text {. }
$$
（1）证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的一个基；
（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标相同，并求出所有的 $\xi$.
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$ ，其 中 $0 < k < 1$.
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛；
(2) 若 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ ，求 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值.
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
设函数 $f(x)$ 连续，且满足
$$
\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+e^{-x}-1 ，
$$
求 $f(x)$.
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$ ，求 $a, b$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$.
(1)求 $a$ ；
(2)求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.