一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-\alpha}}$条件收敛，则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leq \frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x$ ， $(n=1,2, \cdots)$ ，令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $a_n>a_{n+1}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛，则 $a_n>a_{n+1}$
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在
$\text{D.}$ 若存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^n$ 的
$\text{A.}$ 收敛点，收敛点
$\text{B.}$ 收敛点，发散点
$\text{C.}$ 发散点, 收敛点
$\text{D.}$ 发散点，发散点
下列反常积分中收敛的是
$\text{A.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{x}{e^x} \mathrm{~d} x$
设 $\left\{x_n\right\}$ 是数列，下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
级数为 $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)(k$ 为常数 $)$ ，则该级数
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=e^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $A e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A x e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{C.}$ $A e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A x e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
若级数 $\sum_{n=2}^{\infty}\left[\sin \frac{1}{n}-k \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛，则 $k=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $3 \sin 1+2 \cos 1$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$的解为 $y=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\sin 1-\cos 1$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为 $y=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$
差分方程 $y_{t+1}-2 y_t=2^t$ 的通解 $y_t=$
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1) 证明: 对任意的正整数 $n$ ，都有
$$
\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \text {. }
$$
(2) 设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^2+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
(1) 证明方程 $x^n+x^{n-1}+\cdots+x=1$ ( $n$ 为大于 1 的整数) 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个实根；
(2) 记(1)中的实根为 $x_n$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件:
$$
a_0=3, a_1=1, a_{n-2}-n(n-1) a_n=0(n \geq 2) \text { ， }
$$
$S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数.
(1) 证明: $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ ；
(2) 求 $S(x)$ 的表达式.
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小值;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.
设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $0 < a_n < \frac{\pi}{2} ， 0 < b_n < \frac{\pi}{2}$ ， $\cos a_n-a_n=\cos b_n$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ；
(2) 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}$ 收敛.
设函数 $f(x)=\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ，定义函数列:
$$
f_1(x)=f(x), f_2(x)=f\left(f_1(x)\right), \cdots, f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \ldots
$$
记 $S_n$ 是由曲线 $y=f_n(x)$ 、直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n S_n$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数。
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
设 $y(x)$ 是区间 $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 内的可导函数，且 $y(1)=0$ ，点 $P$是曲线 $L: y=y(x)$ 上的任意一点， $L$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$轴相交于点 $\left(0, Y_P\right)$ ，法线与 $x$ 轴相交于点 $\left(X_P, 0\right)$ ，若 $X_P=Y_P$ ，求 $L$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。
若 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_n+a_{n-1}\right)$ ， $(n=1,2,3, \cdots) ， S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数
(1) 证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数.
(1) 当 $f(x)=x$ 时，求微分方程的通解；
(2) 当 $f(x)$ 为周期函数时，证明微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
已知 $\cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1 < x < 1)$ ，求 $a_n$.