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试卷tt

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0

时,

f (x) = x - \sin a x

与

g (x) = x^{2} \ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则

A.

a = 1, b = - 1 / 6

B.

a = 1, b = 1 / 6

C.

a = - 1, b = - 1 / 6

D.

a = - 1, b = 1 / 6

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2. 当

x \to 0

时,

f (x) = x - \sin a x

与

g (x) = x^{2} \ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则

A.

a = 1, b = - 1 / 6

B.

a = 1, b = 1 / 6

C.

a = - 1, b = - 1 / 6

D.

a = - 1, b = 1 / 6

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3. 已知

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f (0) = 0

，则

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} f (x) - 2 f (x^{3})}{x^{3}} =

A.

- 2 f^{'} (0)

B.

- f^{'} (0)

C.

f^{'} (0)

D.

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4. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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5. 如果

f (x, y)

在

(0, 0)

处连续，那么下列命题正确的是

A.

若极限

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y)}{| x | + | y |}

存在，则

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微

B.

若极限

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y)}{x^{2} + y^{2}}

存在，则

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微

C.

若

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微，则极限

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y)}{| x | + | y |}

存在

D.

若

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微，则极限

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y)}{x^{2} + y^{2}}

存在

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6. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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7. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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8. 已知极限

lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^{k}} = c

，其中

k, c

为常数，

c \neq 0

，则

A.

k = 2, c = - \frac{1}{2}

B.

k = 2, c = \frac{1}{2}

C.

k = 3, c = - \frac{1}{3}

D.

k = 3, c = \frac{1}{3}

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9. 设

\cos x - 1 = x \sin α (x)

，其中

| α (x) | < \frac{π}{2}

，当

x \to 0

时，

α (x)

是

A.

比

x

高阶的无穷小量

B.

比

x

低阶的无穷小量

C.

与

x

同阶但不等价无穷小量

D.

与

x

等价无穷小量

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10. 设函数

y = f (x)

由方程

\cos (x y) + \ln y - x = 1

确定，则

lim_{n \to \infty} n [f (\frac{2}{n}) - 1] =

A.

B.

C.

-1

D.

-2

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11. 设函数

f (x) = {\begin{matrix} \sin x, 0 \leq x < π \\ 2, π \leq x \leq 2 π \end{matrix}, F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则

A.

x = π

为函数

F (x)

的跳跃间断点

B.

x = π

为函数

F (x)

的可去间断点

C.

F (x)

在

x = π

连续但不可导

D.

F (x)

在

x = π

可导

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12. 当

x \to 0

时，用"

o (x)

"表示比

x

高阶的无穷小，则下列式子中错误的是

A.

x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

B.

o (x) \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

C.

o (x^{2}) + o (x^{2}) = o (x^{2})

D.

o (x) + o (x^{2}) = o (x^{2})

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13. 函数

f (x) = \frac{| x |^{x} - 1 ∣}{x (x + 1) \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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14. 下列曲线中有渐近线的是

A.

y = x + \sin x

B.

y = x^{2} + \sin x

C.

y = x + \sin \frac{1}{x}

D.

y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}

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15. 当

x \to 0^{+}

时，若

\ln^{α} (1 + 2 x) ， (1 - \cos x)^{α}

均是比

x

高阶的无穷小，则

α

的取值范围是

A.

(2, + \infty)

B.

(1, 2)

C.

(\frac{1}{2}, 1)

D.

(0, \frac{1}{2})

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16. 下列曲线中有渐近线的是

A.

y = x + \sin x

B.

y = x^{2} + \sin x

C.

y = x + \sin \frac{1}{x}

D.

y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}

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17. 设函数

f (x) = \arctan x

，若

f (x) = x f^{'} (ξ)

，则

lim_{x \to 0} \frac{ξ^{2}}{x^{2}} =

A.

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{3}

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18. 设

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

，且

a \neq 0

，则当

n

充分大时有

A.

| a_{n} | > \frac{| a |}{2}

B.

| a_{n} | < \frac{| a |}{2}

C.

a_{n} > a - \frac{1}{n}

D.

a_{n} < a + \frac{1}{n}

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19. 下列曲线中有渐近线的是

A.

y = x + \sin x

B.

y = x^{2} + \sin x

C.

y = x + \sin \frac{1}{x}

D.

y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}

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20. 设

p (x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3}

，当

x \to 0

时，若

p (x) - \tan x

是比

x^{3}

高阶的无穷小，则下列选项中错误的是

A.

a = 0

B.

b = 1

C.

c = 0

D.

d = \frac{1}{6}

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21. 设函数

f (x)

具有二阶导数，

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

，则在

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

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22. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

连续，其二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如下图所示，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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23. 函数

f (x) = lim_{t \to 0} {(1 + \frac{\sin t}{x})}^{\frac{x^{2}}{t}}

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

连续

B.

有可去间断点

C.

有跳跃间断点

D.

有无穷间断点

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24. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} x^{α} \cos \frac{1}{x^{β}}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array} (α > 0, β > 0)

，若

f^{'} (x)

在

x = 0

处连续，则

A.

α - β > 1

B.

0 < α - β \leq 1

C.

α - β > 2

D.

0 < α - β \leq 2

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25. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

连续，其二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如下图所示，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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26. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

连续，其二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如下图所示，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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27. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x, x \leq 0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n + 1} < x \leq \frac{1}{n}, n = 1, 2, \dots \end{cases}

则

A.

x = 0

是

f (x)

的第一类间断点

B.

x = 0

是

f (x)

的第二类间断点

C.

f (x)

在

x = 0

处连续但不可导

D.

f (x)

在

x = 0

处可导

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28. 设

a_{1} = x (\cos \sqrt{x} - 1), a_{2} = \sqrt{x} \ln (1 + \sqrt[3]{x})

a_{3} = \sqrt[3]{x + 1} - 1

. 当

x \to 0^{+}

时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是

A.

a_{1}, a_{2}, a_{3}

B.

a_{2}, a_{3}, a_{1}

C.

a_{2}, a_{1}, a_{3}

D.

a_{3}, a_{2}, a_{1}

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29. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，其导函数的图形如图所示, 则

A.

函数

f (x)

有 2 个极值点，曲线

y = f (x)

有 2 个拐点

B.

函数

f (x)

有 2 个极值点，曲线

y = f (x)

有 3 个拐点

C.

函数

f (x)

有 3 个极值点，曲线

y = f (x)

有 1 个拐点

D.

函数

f (x)

有 3 个极值点，曲线

y = f (x)

有 2 个拐点

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30. 若

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x} & , x > 0 \\ b, & x \leq 0 \end{array}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a b = \frac{1}{2}

B.

a b = - \frac{1}{2}

C.

a b = 0

D.

a b = 2

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31. 设函数

f (x)

可导，且

f (x) f^{'} (x) > 0

，则

A.

f (1) > f (- 1)

B.

f (1) < f (- 1)

C.

| f (1) | > | f (- 1) |

D.

| f (1) | < | f (- 1) |

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32. 若

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x}, & x > 0 \\ b, & x \leq 0 \end{array}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a b = \frac{1}{2}

B.

a b = - \frac{1}{2}

C.

a b = 0

D.

a b = 2

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33. 设二阶可导函数

f (x)

满足

f (1) = f (- 1) = 1, f (0) = - 1

且

f^{''} (x) > 0

，则

A.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x > 0

B.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x < 0

C.

\int_{- 1}^{0} f (x) d x > \int_{0}^{1} f (x) d x

D.

\int_{- 1}^{0} f (x) d x < \int_{0}^{1} f (x) d x

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34. 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 (单位:m) 处.图中，实线表示甲的速度曲线

v = v_{1} (t)

（单位:

m / s

）虚线表示乙的速度曲线

v = v_{2} (t)

，三块阴影部分面积的数值依次为

10 ， 20 ， 3

，计时开始后乙追上甲的时刻记为

t_{0}

（单位:

s

），则

A.

t_{0} = 10

B.

15 < t_{0} < 20

C.

t_{0} = 25

D.

t_{0} > 25

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35. 若函数

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x}, & x > 0 \\ b, & x \leq 0 \end{array}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a b = \frac{1}{2}

B.

a b = - \frac{1}{2}

C.

a b = 0

D.

a b = 2

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36. 下列函数中，在

x = 0

处不可导的是

A.

f (x) = | x | \sin (| x |)

B.

f (x) = | x | \sin (\sqrt{| x |})

C.

f (x) = \cos | x |

D.

f (x) = \cos (\sqrt{| x |})

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37. 若

lim_{x \to 0} {(e^{x} + a x^{2} + b x)}^{\frac{1}{2}} = 1

，则

A.

a = \frac{1}{2}, b = - 1

B.

a = - \frac{1}{2}, b = - 1

C.

a = \frac{1}{2}, b = 1

D.

a = - \frac{1}{2}, b = 1

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38. 下列函数中，在

x = 0

处不可导的是

A.

f (x) = | x | \sin (| x |)

B.

f (x) = | x | \sin (\sqrt{| x |})

C.

f (x) = \cos | x |

D.

f (x) = \cos (\sqrt{| x |})

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39. 设函数

f (x) = {\begin{cases} - 1, x < 0, \\ 1, x \geq 0, \end{cases} g (x) = {\begin{cases} 2 - a x, x \leq - 1, \\ x, - 1 < x < 0, \\ x - b, x \geq 0 . \end{cases}

若

f (x) + g (x)

在

R

上连续，则

A.

a = 3, b = 1

B.

a = 3, b = 2

C.

a = - 3, b = 1

D.

a = - 3, b = 2

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40. 设函数

f (x)

在

[0, 1]

上二阶可导，且

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0

，则

A.

当

f^{'} (x) < 0

时，

f (1 / 2) < 0

B.

当

f^{''} (x) < 0

时，

f (1 / 2) < 0

C.

当

f^{'} (x) > 0

时，

f (1 / 2) < 0

D.

当

f^{''} (x) > 0

时，

f (1 / 2) < 0

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