一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ 0
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数， $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$
设 $\cos x-1=x \sin \alpha(x)$ ，其中 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$ ，当 $x \rightarrow 0$时， $\alpha(x)$ 是
$\text{A.}$ 比 $x$ 高阶的无穷小量
$\text{B.}$ 比 $x$ 低阶的无穷小量
$\text{C.}$ 与 $x$ 同阶但不等价无穷小量
$\text{D.}$ 与 $x$ 等价无穷小量
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\cos (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x, 0 \leq x < \pi \\ 2, \pi \leq x \leq 2 \pi\end{array}, \quad F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{x}=\pi$ 为函数 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ 的跳跃间断点
$\text{B.}$ $\boldsymbol{x}={\pi}$ 为函数 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ 的可去间断点
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)$ 在 $\boldsymbol{x}=\pi$ 连续但不可导
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 可导
当 $x \rightarrow 0$ 时，用" $o(x)$ "表示比 $x$ 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
$\text{A.}$ $x \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{B.}$ $o(x) \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{C.}$ $o\left(x^2\right)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $o(x)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
函数 $f(x)=\frac{|x|^x-1 \mid}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，若 $\ln ^\alpha(1+2 x) ，(1-\cos x)^\alpha$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(1,2)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设函数 $f(x)=\arctan x$ ，若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^2}{x^2}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设 $p(x)=a+b x+c x^2+d x^3$ ， 当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p(x)-\tan x$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
$\text{A.}$ $a=0$
$\text{B.}$ $b=1$
$\text{C.}$ $c=0$
$\text{D.}$ $d=\frac{1}{6}$
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^\alpha \cos \frac{1}{x^\beta}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}(\alpha>0, \beta>0)\right.$ ，若 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则
$\text{A.}$ $\alpha-\beta>1$
$\text{B.}$ $0 < \alpha-\beta \leq 1$
$\text{C.}$ $\alpha-\beta>2$
$\text{D.}$ $0 < \alpha-\beta \leq 2$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \leq 0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
设 $a_1=x(\cos \sqrt{x}-1), a_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x})$, $a_3=\sqrt[3]{x+1}-1$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, a_3$
$\text{B.}$ $a_2, a_3, a_1$
$\text{C.}$ $a_2, a_1, a_3$
$\text{D.}$ $a_3, a_2, a_1$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x} & , x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=f(-1)=1, f(0)=-1$且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x>0$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x < 0$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f(x) \mathrm{d} x < \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$
甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 (单位:m) 处.图中，实线表示甲的速度曲线 $v=v_1(t)$ （单位: $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ）虚线表示乙的速度曲线 $v=v_2(t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次为 $10 ， 20 ， 3$ ，计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_0$ （单位: $s$ ），则
$\text{A.}$ $t_0=10$
$\text{B.}$ $15 < t_0 < 20$
$\text{C.}$ $t_0=25$
$\text{D.}$ $t_0>25$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^x+a x^2+b x\right)^{\frac{1}{2}}=1$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1, x < 0, \\ 1, x \geq 0,\end{array} \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l}2-a x, x \leq-1, \\ x,-1 < x < 0, \\ x-b, x \geq 0 .\end{array}\right.\right.$
若 $f(x)+g(x)$ 在 $R$ 上连续，则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=2$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$