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试卷24

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 18 题），每题只有一个选项正确

1. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，

O

是位似中心，位似比为

2 : 3

，点

A, B

的对应点分别为点

A^{'}, B^{'}

, 若

A B = 6

，则

A^{'} B^{'}

的长为（　　）

A.

8

B.

9

C.

10

D.

15

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2. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ B A C = 90^{\circ}, ∠ B = 50^{\circ}, A D ⊥ B C

, 垂足为

D, △ A D B

与

△ A D B^{'}

关于直线

A D

对称, 点

B

的对称点是点

B^{'}

, 则

∠ C A B^{'}

的度数为（　　）

A.

10^{\circ}

B.

20^{\circ}

C.

30^{\circ}

D.

40^{\circ}

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3. 如图, Rt

△ A B C

中,

∠ C = 90^{\circ}

, 点

D

在

A C

上,

∠ D B C = ∠ A

. 若

A C = 4, \cos A = \frac{4}{5}

, 则

B D

的长度为 ( )

A.

\frac{9}{4}

B.

\frac{12}{5}

C.

\frac{15}{4}

D.

4

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4. 如图, 面积为 1 的等边三角形

A B C

中,

D, E, F

分别是

A B, B C

C A

的中点, 则

△ D E F

的面积是（　　）

A.

1

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{1}{4}

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5. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A.

B.

C.

D.

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6. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成, 根据实际需要可以调节

A E

间的距离. 若

A E

间的距离调节到

60 cm

, 菱形的边长

A B = 20 cm

, 则

∠ D A B

的度数是（　　）

A.

90^{\circ}

B.

100^{\circ}

C.

120^{\circ}

D.

150^{\circ}

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7. 在

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}

, 分别过点

B, C

作

∠ B A C

平分线的垂线, 垂足分别为点

D, E

B C

的中点是

M

, 连接

C D, M D, M E

. 则下列结论错误的是 ( )

A.

C D = 2 M E

B.

M E / / A B

C.

B D = C D

D.

M E = M D

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8. 如图, 某研究性学习小组为测量学校

A

与河对岸工厂

B

之间的距离, 在学校附近选一㤐

C

, 利用测量仪器测得

∠ A = 60^{\circ}, ∠ C = 90^{\circ}, A C = 2 km

. 据此, 可求得学校与工厂之间的距离

A B

等于 ( )

A.

2 km

B.

3 km

C.

2 \sqrt{3} km

D.

4 km

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9. |如图 1, 在

△ A B C

中,

A B = B C, B D ⊥ A C

于点

D (A D > B D)

. 动点

M

从

A

点出发, 沿折线

A B \to B C

方向运动, 运动到点

C

停止. 设点

M

的运动路程为

x, △ A M D

的面积为

y, y

与

x

的函数图象如图 2, 则

A C

的长为

()

A.

B.

C.

D.

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10. 下列图形中有稳定性的是（）

A.

三角形

B.

平行四边形

C.

长方形

D.

正方形

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11. 如图, 在

△ A B C

中,

∠ B = {22.5}^{\circ}, ∠ C = 45^{\circ}

, 若

A C = 2

, 则

△ A B C

的面积是

A.

\frac{3 + \sqrt{2}}{2}

B.

1 + \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{2}

D.

2 + \sqrt{2}

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12. 一副三角板如图所示放置, 斜边平行, 则

∠ 1

的度数为

A.

5^{\circ}

B.

10^{\circ}

C.

15^{\circ}

D.

20^{\circ}

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13. 已知三角形

ABE

为直角三角形,

∠ ABE = 90^{\circ}, BC

为圆

O

切线,

C

为切点,

CA = CD

, 则

△ ABC

和

△

CDE

面积之比为（）

A.

1 : 3

B.

1 : 2

C.

\sqrt{2} : 2

D.

1 : 5

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14. 如图, 把一块三角板

A B C

的直角顶点

B

放在直线

E F

上,

∠ C = 30^{\circ}, A C / / E F

, 则

∠ 1 = ()

A.

30^{\circ}

B.

45^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

75^{\circ}

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15. 如果三角形边长分别为

6, 8, 10

, 那么最短边上的高为

A.

B.

C.

D.

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16. 在 Rt

△ A B C

中,

a : b = 3 : 4, c = 15

为斜边, 则此三角形的周长为

A.

B.

C.

D.

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17. 如图, 某人欲渡一条河, 由于水流的影响, 实际上岸地点

C

偏离欲到达的

B

点

240 m

, 结果他在水中实际游了

510 m

, 则该河的宽度为

A.

300 m

B.

400 m

C.

450 m

D.

480 m

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18. 如图，

A B / / C D ， ∠ 1 = 65^{\circ}

，则

∠ 2

的度数是

A.

105^{\circ}

B.

115^{\circ}

C.

125^{\circ}

D.

135^{\circ}

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二、填空题（共 21 题），请把答案直接填写在答题纸上

19. 如图, 在

△ A B C

中, 点

D

在边

B C

上,

A B = A D = D C, ∠ C = 35^{\circ}

, 则

∠ B A D =

（　　）度

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20. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是（　　）尺．

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21. 在

△ A B C

中,

∠ A B C = 60^{\circ}, A D

为

B C

边上的高,

A D = 6 \sqrt{3}, C D = 1

, 则

B C

的长为（　　）

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22. 在数学探究活动中, 敏敏进行了如下操作: 如图, 将四边形纸片

A B C D

沿过点

A

的直线折叠, 使得点

B

落在

C D

上的点

Q

处. 折痕为

A P

; 再将

△ P C Q, △ A D Q

分别沿

P Q, A Q

折叠, 此时点

C, D

落在

A P

上的同一点

R

处. 请完成下列探究:
(1)

∠ P A Q

的大小为（　　）
(2) 当四边形

A P C D

是平行四边形时,

\frac{A B}{O R}

的值为（　　）

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23. 如图, 在

△ A B C

中,

A B = A C

, 点

D

在

B C

上 (不与点

B, C

重合). 只需添加一个条件即可证明

△ A B D ≅ △ A C D

, 这个条件可以是（　　） (写出一个即可).

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24. 如图所示的网格是正方形网格,

A, B, C, D

是网格线交点, 则

△ A B C

的面积与

△ A B D

的面积的大小关系为:

S_{△ A B C}

（　　）

S_{△ A B D}

(填 > = 或 < )

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25. 如图,

A D

是

△ A B C

的角平分线. 若

∠ B = 90^{\circ}, B D = \sqrt{3}

, 则点

D

到

A C

的距离是

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26. 如图, 等腰直角三角形

A B C

中,

∠ A = 90^{\circ}, B C = 4

. 分别以点

B

、点

C

为圆心, 线段

B C

长的一半为半径作圆弧, 交

A B 、 B C 、 A C

于点

D 、 E 、 F

, 则图中阴影部分的面积为

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27.

\sin 30^{\circ} =

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28. 如图, 已知

∠ A O C = ∠ B O C

, 点

P

在

O C

上,

P D ⊥ O A, P E ⊥ O B

, 垂足分别为

D, E

. 求证:

△ O P D ≅ △ O P E

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29. 如图, 某雕塑

M N

位于河段

O A

上, 游客

P

在步道上由点

O

出发沿

O B

方向行走. 已知

∠ A O B

= 30^{\circ}, M N = 2 O M = 40 m

, 当观景视角

∠ M P N

最大时, 游客

P

行走的距离

O P

是多少米.

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30. 如图, 在

△ A B C

中,

∠ A = 30^{\circ}, ∠ B = 90^{\circ}, D

为

A B

中点,

E

在线段

A C

上,

\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}

,
则

\frac{A E}{A C} =

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31. 如图, 从楼顶

A

处看楼下荷塘

C

处的俯角为

45^{\circ}

, 看楼下荷塘

D

处的俯角为

60^{\circ}

, 已知楼高

A B

为 30 米, 则荷塘的宽

C D

为多少米 (结果保留根号).

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32. 如图, 在

△ A B C

中,

A D

平分

∠ B A C, D E ⊥ A B

. 若

A C = 2, D E = 1

, 则

S_{△ A C D} =

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33. 如图,

△ A B C

的顶点

B 、 C

的坐标分别是

(1, 0) 、 (0, \sqrt{3})

, 且

∠ A B C = 90^{\circ}, ∠ A = 30^{\circ}

, 则顶点

A

的坐标是

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34. 已知

△ ABC

是直角三角形,

∠ B = 90^{\circ}, AB = 3, BC = 5, AE = 2 \sqrt{5}

, 连接

CE

以

CE

为底作直角三角形

CDE

且

CD = DE

。

F

是

AE

边上的一点, 连接

BD

和

BF, BD

且

∠ FBD = 45^{\circ}

, 则

AF

长为

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35. 如图, 在

△ A B C

中,

∠ A B C = 40^{\circ}, ∠ B A C = 80^{\circ}

, 以点

A

为圆心,

A C

长为半径作弧, 交射线

B A

于点

D

, 连结

C D

, 则

∠ B C D

的度数是

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36. 已知

△ A B C, ∠ A = 30^{\circ}, A B = 4, B C = 2 \sqrt{2}

, 则

△ A B C

的面积为

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37. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}, A C = B C = 2 \sqrt{2}

, 点

D

为

A B

的中点, 点

P

在

A C

上, 且

C P = 1

, 将

CP

绕点

C

在平面内旋转, 点

P

的对应点为点

Q

, 连接

A Q, D Q

. 当

∠ A D Q = 90^{\circ}

时,

A Q

的长为

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38. 直角三角形有一条直角边为 11 , 另外两条边长是相邻的自然数, 则周长为

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39. 如图, 旗杆

A B

在地面上的影长

B C

为

4 m, A B = 3 m

, 则

A C

为多少

m .

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三、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

40. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形

A B C D

如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若

A E = 2 B E

，则

\frac{C G}{B H}

的值为（　　）

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