一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
如图，图形甲与图形乙是位似图形，$O$ 是位似中心，位似比为$2:3$ ，点$A,B$ 的对应点分别为点$A',B'$, 若 $AB=6$，则 $A'B'$的长为 （ ）
$\text{A.}$ $8$
$\text{B.}$ $9$
$\text{C.}$ $10$
$\text{D.}$ $15$
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, \angle B=50^{\circ}, A D \perp B C$, 垂足为 $D, \triangle A D B$ 与 $\triangle A D B^{\prime}$ 关于直线 $A D$ 对称, 点 $B$ 的对称点是点 $B^{\prime}$, 则 $\angle C A B^{\prime}$ 的度数为 （ ）
$\text{A.}$ $10^{\circ}$
$\text{B.}$ $20^{\circ}$
$\text{C.}$ $30^{\circ}$
$\text{D.}$ $40^{\circ}$
如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 点 $D$ 在 $A C$ 上, $\angle D B C=\angle A$. 若 $A C=4, \cos A=\frac{4}{5}$, 则 $B D$ 的长度为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{12}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{15}{4}$
$\text{D.}$ $4$
如图, 面积为 1 的等边三角形 $A B C$ 中, $D, E, F$ 分别是 $A B, B C$, $C A$ 的中点, 则 $\triangle D E F$ 的面积是 （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于 （ ）
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成, 根据实际需 要可以调节 $A E$ 间的距离. 若 $A E$ 间的距离调节到 $60 \mathrm{~cm}$, 菱形的边长 $A B=20 \mathrm{~cm}$, 则 $\angle D A B$ 的度数是 （ ）
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $100^{\circ}$
$\text{C.}$ $120^{\circ}$
$\text{D.}$ $150^{\circ}$
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 分别过点 $B, C$ 作 $\angle B A C$ 平分线的垂线, 垂足分别为点 $D, E$, $B C$ 的中点是 $M$, 连接 $C D, M D, M E$. 则下列结论错误的是 ( )
$\text{A.}$ $C D=2 M E$
$\text{B.}$ $M E / / A B$
$\text{C.}$ $B D=C D$
$\text{D.}$ $M E=M D$
如图, 某研究性学习小组为测量学校 $A$ 与河对岸工厂 $B$ 之间的距离, 在学校附近选一㤐 $C$, 利用测量仪器测得 $\angle A=60^{\circ}, \angle C=90^{\circ}, A C=2 \mathrm{~km}$. 据此, 可求得学校与工厂之间的 距离 $A B$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $2 \mathrm{~km}$
$\text{B.}$ $3 \mathrm{~km}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3} \mathrm{~km}$
$\text{D.}$ $4 \mathrm{~km}$
|如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=B C, B D \perp A C$ 于点 $D(A D>B D)$. 动点 $M$ 从 $A$ 点出发, 沿折 线 $A B \rightarrow B C$ 方向运动, 运动到点 $C$ 停止. 设点 $M$ 的运动路程为 $x, \triangle A M D$ 的面积为 $y, y$ 与 $x$ 的函数图象如图 2, 则 $A C$ 的长为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
下列图形中有稳定性的是（）
$\text{A.}$ 三角形
$\text{B.}$ 平行四边形
$\text{C.}$ 长方形
$\text{D.}$ 正方形
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=22.5^{\circ}, \angle C=45^{\circ}$, 若 $A C=2$, 则 $\triangle A B C$ 的面积是
$\text{A.}$ $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $1+\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{2}$
一副三角板如图所示放置, 斜边平行, 则 $\angle 1$ 的度数为
$\text{A.}$ $5^{\circ}$
$\text{B.}$ $10^{\circ}$
$\text{C.}$ $15^{\circ}$
$\text{D.}$ $20^{\circ}$
已知三角形 $\mathrm{ABE}$ 为直角三角形, $\angle \mathrm{ABE}=90^{\circ}, \mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 切线, $\mathrm{C}$ 为切点, $\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle$ $\mathrm{CDE}$ 面积之比为（）
$\text{A.}$ $1: 3$
$\text{B.}$ $1: 2$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}: 2$
$\text{D.}$ $1: 5$
如图, 把一块三角板 $A B C$ 的直角顶点 $B$ 放在直线 $E F$ 上, $\angle C=30^{\circ}, A C / / E F$, 则 $\angle 1=(\quad)$
$\text{A.}$ $30^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $75^{\circ}$
如果三角形边长分别为 $6,8,10$, 那么最短边上的高为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
在 Rt $\triangle A B C$ 中, $a: b=3: 4, c=15$ 为斜边, 则此三角形的周长为
$\text{A.}$ 30
$\text{B.}$ 36
$\text{C.}$ 48
$\text{D.}$ 50
如图, 某人欲渡一条河, 由于水流的影响, 实际上岸地点 $C$ 偏离欲到达的 $B$ 点 $240 \mathrm{~m}$, 结果他 在水中实际游了 $510 \mathrm{~m}$, 则该河的宽度为
$\text{A.}$ $300 \mathrm{~m}$
$\text{B.}$ $400 \mathrm{~m}$
$\text{C.}$ $450 \mathrm{~m}$
$\text{D.}$ $480 \mathrm{~m}$
如图， $A B // C D ， \angle 1=65^{\circ}$ ，则 $\angle 2$ 的度数是
$\text{A.}$ $105^{\circ}$
$\text{B.}$ $115^{\circ}$
$\text{C.}$ $125^{\circ}$
$\text{D.}$ $135^{\circ}$
二、填空题 （共 21 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $A B=A D=D C, \angle C=35^{\circ}$, 则 $\angle B A D=$ （ ） 度
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 （ ） 尺．
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}, A D$ 为 $B C$ 边上的高, $A D=6 \sqrt{3}, C D=1$, 则 $B C$ 的长为 （ ）
在数学探究活动中, 敏敏进行了如下操作: 如图, 将四边形纸片 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折 叠, 使得点 $B$ 落在 $C D$ 上的点 $Q$ 处. 折痕为 $A P$; 再将 $\triangle P C Q, \triangle A D Q$ 分别沿 $P Q, A Q$ 折叠, 此时点 $C, D$ 落在 $A P$ 上的同一点 $R$ 处. 请完成下列探究:
(1) $\angle P A Q$ 的大小为 （ ）
(2) 当四边形 $A P C D$ 是平行四边形时, $\frac{A B}{O R}$ 的值为 （ ）
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 点 $D$ 在 $B C$ 上 (不与点 $B, C$ 重合). 只需添加一个条件即可 证明 $\triangle A B D \cong \triangle A C D$, 这个条件可以是 （ ） (写出一个即可).
如图所示的网格是正方形网格, $A, B, C, D$ 是网格线交点, 则 $\triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A B D$ 的面积的大小关系为: $S_{\triangle A B C} $ （ ） $ S_{\triangle A B D}$ (填 > = 或 < )
如图, $A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线. 若 $\angle B=90^{\circ}, B D=\sqrt{3}$, 则点 $D$ 到 $A C$ 的距离是
如图, 等腰直角三角形 $A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, B C=4$. 分别以点 $B$ 、点 $C$ 为圆心, 线段 $B C$ 长的一半为半径作圆弧, 交 $A B 、 B C 、 A C$ 于点 $D 、 E 、 F$, 则图中阴影部分的面积为
如图, 已知 $\angle A O C=\angle B O C$, 点 $P$ 在 $O C$ 上, $P D \perp O A, P E \perp O B$, 垂足分别为 $D, E$. 求证: $\triangle O P D \cong \triangle O P E$.
如图, 某雕塑 $M N$ 位于河段 $O A$ 上, 游客 $P$ 在步道上由点 $O$ 出发沿 $O B$ 方向行走. 已知 $\angle A O B$ $=30^{\circ}, M N=2 O M=40 m$, 当观景视角 $\angle M P N$ 最大时, 游客 $P$ 行走的距离 $O P$ 是多少米.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=30^{\circ}, \angle B=90^{\circ}, D$ 为 $A B$ 中点, $E$ 在线段 $A C$ 上, $\frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B C}$,
则 $\frac{A E}{A C}=$
如图, 从楼顶 $A$ 处看楼下荷塘 $C$ 处的俯角为 $45^{\circ}$, 看楼下荷塘 $D$ 处的俯角为 $60^{\circ}$, 已知楼高 $A B$ 为 30 米, 则荷塘的宽 $C D$ 为多少米 (结 果保留根号).
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 平分 $\angle B A C, D E \perp A B$. 若 $A C=2, D E=1$, 则 $S_{\triangle A C D}=$
如图, $\triangle A B C$ 的顶点 $B 、 C$ 的坐标分别是 $(1,0) 、(0, \sqrt{3})$, 且 $\angle A B C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$, 则顶点 $A$ 的坐标是
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是直角三角形, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=5, \mathrm{AE}=2 \sqrt{5}$, 连接 $\mathrm{CE}$ 以 $\mathrm{CE}$ 为底作直角三角形 $\mathrm{CDE}$ 且 $\mathrm{CD}=\mathrm{DE}$ 。 $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{AE}$ 边上的一点, 连接 $\mathrm{BD}$ 和 $\mathrm{BF}, \mathrm{BD}$ 且 $\angle \mathrm{FBD}=45^{\circ}$, 则 $\mathrm{AF}$ 长为
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=40^{\circ}, \angle B A C=80^{\circ}$, 以点 $A$ 为 圆心, $A C$ 长为半径作弧, 交射线 $B A$ 于点 $D$, 连结 $C D$, 则 $\angle B C D$ 的度数是
已知 $\triangle A B C, \angle A=30^{\circ}, A B=4, B C=2 \sqrt{2}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
如图, 在 Rt $\triangle \mathbf{A B C}$ 中, $\angle \mathbf{A C B}=90^{\circ}, \mathbf{A C}=\mathbf{B C}=2 \sqrt{2}$, 点 $\mathbf{D}$ 为 $\mathbf{A B}$ 的中点, 点 $P$ 在 $\mathbf{A C}$ 上, 且 $\mathbf{C P}=1$, 将 $\mathrm{CP}$ 绕点 $\mathrm{C}$ 在平面内旋转, 点 $P$ 的对应点为点 $Q$, 连接 $A Q, D Q$. 当 $\angle A D Q=90^{\circ}$ 时, $A Q$ 的 长为
直角三角形有一条直角边为 11 , 另外两条边长是相邻的自然数, 则周长为
如图, 旗杆 $A B$ 在地面上的影长 $B C$ 为 $4 \mathrm{~m}, A B=3 \mathrm{~m}$, 则 $A C$ 为 多少 $\mathrm{m} .$
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形$ABCD$ 如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若$AE=2BE$ ，则$\dfrac{CG}{BH}$ 的值为 （ ）
