题号:1660    题型:填空题    来源:2021年海南省中考数学试卷
类型:中考真题
如图, $\triangle A B C$ 的顶点 $B 、 C$ 的坐标分别是 $(1,0) 、(0, \sqrt{3})$, 且 $\angle A B C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$, 则顶点 $A$ 的坐标是
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答案:
$(4, \sqrt{3})$

解析:



过点 $A$ 作 $A G \perp x$ 轴, 交 $x$ 轴于点 $G$.
$\because B 、 C$ 的坐标分别是 $(1,0) 、(0, \sqrt{3})$,
$$
\therefore O C=\sqrt{3}, O B=1 \text {, }
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore B C=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2 . \\
&\because \angle A B C=90^{\circ}, \angle B A C=30^{\circ}, \\
&\therefore A B=\frac{B C}{\tan 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}==2 \sqrt{3} .
\end{aligned}
$$
$\because \angle A B G+\angle C B O=90^{\circ}, \angle B C O+\angle C B O=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A B G=\angle B C O$.
$\therefore \sin \angle A B G=\frac{A G}{A B}=\frac{O B}{B C}=\frac{1}{2}, \cos \angle A B G=\frac{B G}{A B}=\frac{O C}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore A G=\sqrt{3}, B G=3$.
$\therefore O G=1+3=4$,
$\therefore$ 顶点 $A$ 的坐标是 $(4, \sqrt{3})$.
故答案为: $(4, \sqrt{3})$.

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