题号:1213    题型:单选题    来源:2022年广西桂林市中考数学试卷
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=22.5^{\circ}, \angle C=45^{\circ}$, 若 $A C=2$, 则 $\triangle A B C$ 的面积是
$A.$ $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$ $B.$ $1+\sqrt{2}$ $C.$ $2 \sqrt{2}$ $D.$ $2+\sqrt{2}$
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答案:
D

解析:


如图, 过点 $A$ 作 $A D \perp A C$ 于 $A$, 交 $B C$ 于 $D$, 过点 $A$ 作 $A E \perp B C$ 于 $E$,
$\because \angle C=45^{\circ}$,
$\therefore \triangle A D C$ 是等腰直角三角形,
$\therefore A D=A C=2, \angle A D C=45^{\circ}, C D=\sqrt{2} A C=2 \sqrt{2}$,
$\because \angle A D C=\angle B+\angle B A D, \angle B=22.5^{\circ}$,
$\therefore \angle D A B=22.5^{\circ}$,
$\therefore \angle B=\angle D A B$,
$\therefore A D=B D=2$,
$\because A D=A C, A E \perp C D$,
$\therefore D E=C E$,
$\therefore A E=\frac{1}{2} C D=\sqrt{2}$,
$\therefore \triangle A B C$ 的面积 $=\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A E=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times(2+2 \sqrt{2})=2+\sqrt{2}$.
故选: $D$.
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