【ID】1755 【题型】填空题 【类型】中考真题 【来源】2022年深圳市中考数学试卷试题与解析
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是直角三角形, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=5, \mathrm{AE}=2 \sqrt{5}$, 连接 $\mathrm{CE}$ 以 $\mathrm{CE}$ 为底作直角三角形 $\mathrm{CDE}$ 且 $\mathrm{CD}=\mathrm{DE}$ 。 $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{AE}$ 边上的一点, 连接 $\mathrm{BD}$ 和 $\mathrm{BF}, \mathrm{BD}$ 且 $\angle \mathrm{FBD}=45^{\circ}$, 则 $\mathrm{AF}$ 长为
答案:
$\frac{3}{4} \sqrt{5} $

解析:



【解答】解:线段 $\mathrm{BD}$ 绕点 D 顺时针旋转 $90^{\circ}$, 得到线段 $\mathrm{HD}$, 连接 $\mathrm{BH}$. (构造手拉手模型)
$\therefore \triangle \mathrm{BDH}$ 是等腰直角三角形.
又 $\because \triangle \mathrm{EDC}$ 是等腰直角三角形.
$$
\therefore \mathrm{HD}=\mathrm{BD}, \angle \mathrm{EDH}=\angle \mathrm{CDB}, \mathrm{ED}=\mathrm{CD} \text {. }
$$
$\therefore \triangle \mathrm{EDH} \cong \triangle \mathrm{CDB}$.
$$
\therefore \mathrm{EH}=\mathrm{CB}=5, \angle \mathrm{HED}=\angle \mathrm{BCD}=90^{\circ} \text {. }
$$
$\because \angle \mathrm{EDC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} .$
$\therefore \mathrm{HE} / / \mathrm{DC} / / \mathrm{AB}$.
$\therefore$ 易证 $\triangle \mathrm{ABF} \sim \triangle \mathrm{EHF}$
$$
\therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EH}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AE}-\mathrm{AF}}
$$
$$
\because \mathrm{AE}=2 \sqrt{5} .
$$
\begin{aligned}
&\therefore \frac{3}{5}=\frac{\mathrm{AF}}{2 \sqrt{5}-\mathrm{AF}} . \\
&\therefore \mathrm{AF}=\frac{3}{4} \sqrt{5} . \quad \text { 故答案为 } \frac{3}{4} \sqrt{5} .
\end{aligned}

视频讲解

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