设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，下列选项正确的是
A. 若 $a_n>a_{n+1}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛
B. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛，则 $a_n>a_{n+1}$
C. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在
D. 若存在常数 $p>1$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p a_n$ 存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛