一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_X(x), f_Y(y)$ 分别表示 $X ， Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$
$\text{B.}$ $f_Y(y)$
$\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$
$\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $F_1(x) ， F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X < Y\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|}$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $t(1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(1)$
$\text{D.}$ ${F}(\mathbf{1}, \mathbf{1})$
设随机变量 $X \sim t(n) ， Y \sim F(1, n)$ ，给定 $\alpha(0 < \alpha < 0.5)$ ，常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$ ，则 $P\left\{Y>c^2\right\}=$
$\text{A.}$ $\alpha$
$\text{B.}$ $1-\alpha$
$\text{C.}$ $2 \alpha$
$\text{D.}$ $1-2 \alpha$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 概率分布分别为，
则 $P\{X+Y=2\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在， $X_1$ 与 $X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ ， 随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}\left[f_1(y)+f_z(y)\right]$ ，随机变量
$$
Y_2=\frac{1}{2}\left(X_1+X_2\right)
$$ 则
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)=D\left(Y_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right) < D\left(Y_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$
设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E(X)=2 ，E(Y)=1,D(X)=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]=$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -5
$\text{D.}$ 5
设总体 $X \sim B(m, \theta) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{X}_i-\overline{\boldsymbol{X}}\right)^2\right]=(\quad)$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$
随机试验 $\boldsymbol{E}$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$ ，且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ ， 将试验 $E$ 独立重复 2 次， $X$ 表示 2次试验中结果 $A_1$ 发生的次数， $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数，则 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且
$$
X \sim N(1,2), Y \sim N(1,4),
$$
则 $D(X Y)=(\quad)$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 15
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体 $X-N\left(\mu, \sigma^2\right)$ $(\sigma>0)$ 的简单随机样本，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，
$$
S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}, S^*=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2} ，
$$
则
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*}-t(n-1)$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X_1, X_2, \ldots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，记统计量 $T=\bar{X}-S^2$ ，则 $E(T)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu: \sigma^2, \sigma^2: 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^2\right)=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ ，则 $E\left(X e^{2 X}\right)=$
设总体 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2 x}{3 \theta^2}, & \theta < x < 2 \theta \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $E\left(c \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\theta^2$ ，则常数 $c=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right) ，
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=$
设随机变量 $X$ 的概率分布为
$$
P\{X=-2\}=\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b ，
$$
若 $\boldsymbol{E X}=0$ ，则 $D \boldsymbol{X}=$
已知事件 $A, B, C$ 相互独立，且
$$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2} ，
$$
则 $P(A C \mid A \cup B)=$ $\qquad$
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
2-x-y, 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
(I) 求 $P\{X>2 Y\}$ ；
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立同分布，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$. 求:
(1) $(U, V)$ 的概率分布;
(2) $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V})$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1) ，
$$
$\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为
$$
f_{\mathrm{y}}(y)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq y < 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {, }
$$
记 $Z=X+Y$.
(1) 求 $P\left\{\left.Z \leq \frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$;
(2) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球: 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y}, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-x}, 0 < y < x \\
0, \text {, 其他 }
\end{array}\right.
$$
(1) 求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) 求条件概率 $P\{X \leq 1 \mid Y \leq 1\}$.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球：现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y} ， \boldsymbol{Z}$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
(1) 求 $P\{X=2 Y\}$ ；
(2) 求 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布. 记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$.
(1) 求 $V$ 的概率密度 $f_{\mathrm{V}}(v)$;
(2) 求 $E(U+V)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)$ $(i=1,2)$.
(1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
(2) 求期望 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})$.
设总体 $X$ 的分布函数为
$$
\boldsymbol{F}(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x \geq 0 \\
0, & x < 0
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知的大于零的参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $\boldsymbol{X}$ 的简单随机样本.
(1) 求 $E(X)$ 与 $E\left(X^2\right)$ ；
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_n$.
(3) 是否存在常数 $a$ ，使得对任意的 $\varepsilon>0$ ，都有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta}_n-a\right| \geq \varepsilon\right\}=0 \text { ? }
$$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
在给定 $\boldsymbol{X}=i$ 的条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从均匀分布
$$
U(0, i)(i=1,2) .
$$
(1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
(2) 求期望 $E(Y)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2^{-x} \ln 2, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\boldsymbol{Y}$ 为观测次数。
(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
（1）写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
（2）问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立？并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为:
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(X, Z)$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.