一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
如果 $f(x)$ 在 $x$ 处可微, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta x}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
已知 $\int_0^1\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=1, f(1)=0$, 则 $f(0)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$.
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$.
$\text{C.}$ $k=3, c=4$.
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$.
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ 则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值;
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值;
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1-\mathrm{e}^{-x}$若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ 则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值;
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值;
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^n}=-1$, 其中 $n$ 为大于 1 的整数, 则在点 $x=a$ 处
$\text{A.}$ $f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$;
$\text{B.}$ $f(x)$ 取得极大值;
$\text{C.}$ $f(x)$ 取得极小值;
$\text{D.}$ $f(x)$ 是否取得极值与 $n$ 的取值有关.
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$, 则当 $a < x < b$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
用 “ $A \rightarrow B$ ” 表示概念 $A$ 可以推导出概念 $B$, 函数 $y=f(x)$ 的可导、可微、连续、可积在某闭区间上的推导关系正确的是
$\text{A.}$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可积
$\text{B.}$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可积
$\text{C.}$ 可积 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微
$\text{D.}$ 可积 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 连续
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 连续, 则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-\sin x}{x^3}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$, 则当 $a=$时, $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续.
设曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$, 且当 $x$ 在点 $x=0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时, 相应函数的增量为 $\Delta y=$ $3 \Delta x+o(\Delta x)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)=$
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$, 则 $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]=$
已知函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数, 且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\left(\frac{2 x}{\pi}\right)^n}$,则 $\int_0^\pi f(x) d x=$
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^b \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 若 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 $a+b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)=2$, 试求 $f(0), f^{\prime}(0), \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f(x)+\mathrm{e}^x}$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
计算下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x-x^2 \cos \frac{1}{x}}{\left(e^{-x}-1\right)(1+\cos x)}$.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}$.
若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a,\left(a>0, a_n>0\right)$, 求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}$.
讨论函数 $f(x, y)=\left(1+\frac{2}{x^2}\right)^{\frac{x^4}{x^2+y^2}}$ 在点 $(0,0)$ 处的累次极限和重积分存在性，若存在求其值.
证明: $f(x)=\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，但在 $(0,1)$ 上不一致连续.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\cos \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\right]^2$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n}$.
设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 的单调增加函数，且存在极限
$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_n\right)=A .$
证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$.
设 $y=y(x)$ 为微分方程满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=0, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{y^2(x)-\frac{\pi^2}{16}}{2 x^2-1}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos \left(x \mathrm{e}^x\right)-\ln (1-x)-x\right]^{\cot x^3} .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1) .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^2+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$.
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$.