一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x) < 0$, 则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^0|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_0^1|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 f[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 g[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{3}{8}$.
$\text{D.}$ 1
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\tan ^2 x\right)-x^2}{x^4}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1/2
$\text{C.}$ 1/6
$\text{D.}$ 1/4
设 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点.
$\text{B.}$ 两个无穷间断点.
$\text{C.}$ 一个可去间断点, 一个跳跃间断点.
$\text{D.}$ 一个可去间断点,一个无穷间断点.
设 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{m x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x-1}=$
设 $f(x)$ 连续, 且当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_0^x\left(x^2+1-\cos t\right) f(t) \mathrm{d} t$ 是与 $x^3$ 等价的无穷小, 则 $f(0)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)-\frac{1}{2}(n+1)\right]$
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{\sin x}{x}$, 且 $f(\pi)=a$, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt[4]{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}-x)$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^4}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{4}{3}}}$
函数 $y=\arcsin \frac{x-1}{5}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ 的定义域是
$\int_{-2}^2 \frac{\sin x^3+|x|}{1+x^2} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
如果 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$, 则常数 $a=$ , $b=$
三、解答题 （ 共 18 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right)^2}{x}=$
设 $I_n=n \int_1^a \frac{\mathrm{d} x}{1+x^n}$, 其中 $a>1$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设一元函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且存在两个正数 $A < B$ 满足 $A < \left|f^{\prime}(x)\right| < B$,证明: $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续,但 $f\left(x^3+y^3\right)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上不一致连续.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(1+\sin ^2 x\right)^{1902}-(\cos x)^{2022}}{\tan ^2 x} $
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
计算: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^0 \ln (1+t) d t}{x^2}$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_a^{y+x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4 x-\sin 4 x}{8 x^2 \sin x}$ 。
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
设 $a_n=n \int_0^{\frac{n+1}{n}} \frac{x^{n-1}}{1+x^n} d x$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 。
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} d t$, 求 $\int_0^\pi f(x) d x$ 。
设 $f(x)$ 为多项式，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)-2 x^3}{x^2}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=3$, 求 $f(x)$
设 $\alpha$ 为给定的实数, 若函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \sin \left(n x+\frac{1}{n x}\right)
$$
关于 $x \in(0,2 \pi)$ 内闭一致收敛, 求 $\alpha$ 的取值范围.