题号:2980    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$A.$ $\alpha, \beta, \gamma$. $B.$ $\beta, \alpha, \gamma$. $C.$ $\alpha, \gamma, \beta$. $D.$ $\gamma, \alpha, \beta$.
0 条评论 分享 0 人推荐 收藏 ​ ​ 3 次查看 我来讲解
答案:
B

解析:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha}}{\frac{1}{x^a}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^a}{\mathrm{e}^a}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{\mathrm{e}^{\frac{5}{a} x}}\right)^a$, 因为
所以 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-c}}{\frac{1}{x^a}}=\left(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{\frac{s}{a} x}}\right)^a=0$, 即 $\mathrm{e}^{-\alpha}$ 是比 $\frac{1}{x^a}$ 高阶的无穷小 $(x \rightarrow+\infty)$.
又 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x^a}}{\frac{1}{\ln ^b x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln ^b x}{x^a} \stackrel{x=\mathrm{e}^t}{=} \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^b}{\mathrm{e}^{a t}} \stackrel{a t=u}{=} \lim _{u \rightarrow+\infty} \frac{\left(\frac{1}{a}\right)^b u^b}{\mathrm{e}^u}=0$, 故 $\frac{1}{x^a}$ 是比 $\frac{1}{\ln ^b x}$ 高
阶的无穷小 $(x \rightarrow+\infty)$.
综上所述, B 正确.

关闭