设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 记 $F(x)=\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.
(1) 证明: 若对 $\forall a, b>0$, 有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]$, 则必有
$$
F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]
$$
(2) 反之, 若对 $\forall a, b>0$, 有 $F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]$, 是否必有
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]
$$
请给出你的证明或反例.