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试卷93

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 18 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 其导函数图形如图所示, 则

f (x)

的极值点的个数为

A.

B.

C.

D.

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2. 若函数

f (x)

在原点连续,

F (x) = f (x) | \sin x |

, 则

f (0) = 0

是

F^{'} (0)

存在的

A.

充要条件

B.

充分但非必要条件

C.

必要但非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

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3. 设

g (t)

是正值连续函数, 且

f (x) = \int_{- a}^{a} | x - t | g (t) d t, a > 0, x \in [- a, a]

, 关于曲线

y = f (x)

, 下列说法正确的是

A.

在

[- a, 0]

上是凹的, 在

[0, a]

上是凸的

B.

在

[- a, 0]

上是凸的, 在

[0, a]

上是凹的.

C.

在

[- a, a]

上是凹的.

D.

在

[- a, a]

上是凸的.

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4. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上有连续导数, 且

f (0) > 0, f^{'} (x) ⩾ 0

, 若

F (x) = f (x) + f^{'} (x)

, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{f (x)} d x

收敛是

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{F (x)} d x

收敛的

A.

必要非充分条件.

B.

充分非必要条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分也非必要条件.

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5. 已知

f (x, y)

在点

(0, 0)

的某邻域内连续, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x^{k} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = 1

, 则

A.

k = 1

时,

(0, 0)

是极小值点.

B.

k = 2

时,

(0, 0)

是极大值点.

C.

k = 3

时,

(0, 0)

是极小值点.

D.

k = 4

时,

(0, 0)

是极大值点.

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6. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是:

A.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

B.

\ln (\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}})

C.

1 - e^{\sqrt{x}}

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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7. . 函数

y = 1 - x^{2}

在区间

[- 1.1]

上应用罗尔定理时, 所得到的中值=

A.

B.

C.

-1

D.

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8. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} e^{a x} & x \leq 0 \\ b (1 - x^{2}) & x > 0 \end{array}

处处可导, 那么

A.

a = b = 1

B.

a = - 2, b = - 1

C.

a = 0, b = 1

D.

a = 1, b = 0

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9. 设

x = a

为函数

y = f (x)

的极值点, 则下列论述正确的是

A.

f (a) = 0

B.

f^{'} (a) = 0

C.

f^{″} (a) = 0

D.

以上都不对

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10. 设

f (x)

在[-1,1]上二阶可导，且

f^{″} (x) > 0,

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2

,则

A.

f (x) < 0

B.

f (0) > 0

C.

f (x) \leq 1

D.

f (0) > 1

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11. 设

f (x)

在

[0, 1]

上可导, 且

f^{'} (x) < 0

, 则下列结论正确的是
(1) 当

0 < t < 1

时,

\int_{0}^{t} f (x) d x < \int_{0}^{1} t f (x) d x

.
(2) 当

0 < t < 1

时,

\int_{0}^{t} f (x) d x > \int_{0}^{1} t f (x) d x

.
(3) 当

x ⩾ 0

时,

\int_{0}^{x} x f (t) d t ⩾ 2 \int_{0}^{x} t f (t) d t

.
(4) 当

x ⩾ 0

时,

\int_{0}^{x} x f (t) d t ⩽ 2 \int_{0}^{x} t f (t) d t

A.

(1) (4).

B.

(2) (3).

C.

(2) (4).

D.

(1) (3).

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12. 设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{1 + x^{2}} d x, I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} d x, I_{3} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{(1 + x)^{2}} d x

, 则

A.

I_{1} > I_{2} > I_{3}

B.

I_{3} > I_{2} > I_{1}

C.

I_{2} > I_{1} > I_{3}

D.

I_{2} > I_{3} > I_{1}

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13. 设

f (x)

在

(- 1, 1]

上二阶可导, 且

f^{''} (x) > 0, \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1

, 则

A.

f (0) ⩽ 0

B.

f (0) > 0

C.

f (0) ⩽ \frac{1}{2}

D.

f (0) > \frac{1}{2}

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14.

f (x) = \frac{x \ln | x |}{| x - 1 |} e^{\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}}

的无穷间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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15. 设函数

f (x)

可导,

g (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{| x |} + \frac{1}{| x |} \sin^{2} x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, F (x) = f [g (x)]

, 则

F (x)

在

x = 0

点可导的充分必要条件是

A.

f^{'} (0) = 0

B.

f^{'} (0) \neq 0

C.

f (0) = 0

D.

f (0) \neq 0

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16. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 - e^{\frac{3}{x}}} + \frac{\ln (1 - a x)}{| x |}, & x \neq 0 \\ b, & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a = 1, b = - 1

B.

a = - 1, b = 1

C.

a = 1, b = 1

D.

a = - 1, b = - 1

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17. 设函数

f (x)

的二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示, 则曲线

y =

f (x)

的拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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18. 若曲线

y = e^{x}

与直线

y = a x (a > 0)

有两个交点, 则

a

的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{e})

B.

(\frac{1}{e}, 1)

C.

(1, e)

D.

(e, + \infty)

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

19. 已知

f^{'} (1) = 8

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - x^{2}) - f (1)}{1 - \cos x} =

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20. 设

f (x) = {\begin{array}{cl} e^{x} (\sin x + \cos x) & x \geq 0 \\ b \arctan \frac{1}{x} & x < 0 \end{array}

是连续函数, 则

b =

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21. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续,求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (t^{2} - x^{2}) d t

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22. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{lc} (1 - x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处连续, 则

a =

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23. 已知方程

e^{x} = k x

有且仅有一个实根, 则

k

的取值范围为

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24. 极限

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + \cos^{3} x - 1}{(x + \sin x)^{2}} =

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25. 极限

lim_{n \to \infty} (\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + n}}) =

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26. 设函数

y = \ln \tan \sqrt{x}

, 则

d y =

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27. 设

f (x, y) = {\begin{cases} e^{x^{2} + y^{2}} \frac{\sin \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0, \\ 1, & x^{2} + y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} ⩽ t^{2}, \end{cases}

则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{π t^{2}} \iint_{D} f (x, y) d x d y =

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28. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x + e^{n x}}{1 + e^{n x}}

, 则

f (x - 1)

的间断点为

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29. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 1}{x^{2} + y^{2}} = 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 h, 0) - f (0, h)}{h} =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

30. 设

f (x)

的二阶导函数连续, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + \cos x}{x^{2}} = 1

, 求

f (0), f^{'} (0), f^{''} (0)

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31. 设曲线

x = y^{2} (y > 0), x = 2 - y^{2} (y > 0)

及

y = 0

围成一平面图形 D.
(1) 求平面图形 D 的面积;
(2) 求平面图形 D 绕

y

轴旋转一周而成的立体的体积

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32. 计算函数

y = {(\frac{x}{1 + x})}^{x}

的一阶导数

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33. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上二阶可导, 函数

g (x) = {\begin{array}{cc} a x^{2} + b x + c & x > 0 \\ f (x) & x \leq 0 \end{array}

, 试确定常数

a, b, c

的值, 使得函数

g (x)

在

x = 0

点二阶可导.

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34. 证明：当

x > 0

时,

1 + x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) > \sqrt{1 + x^{2}}

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35. 设

y = y (x)

满足

x^{2} y^{'} + y = x^{2} e^{\frac{1}{x}} (x \neq 0)

, 且

y (1) = 3 e

.
(I) 求

y = y (x)

的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线

y = y (x)

与

y = k (k > 0)

不同交点的个数.

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36. 求出使不等式

{(1 + \frac{1}{n})}^{n + a} ⩽ e ⩽ {(1 + \frac{1}{n})}^{n + β}, n = 1, 2, \dots

成立的最大的数

α

和最小的数

β

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37.

lim_{x \to 0} \frac{(2 + 3 \sin x)^{x} - 2^{x}}{\tan^{2} x - 4 x^{3}}

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38. 求曲线

y = \frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x}

的所有渐近线方程.

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