求曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+2 x}$ 的所有渐近线方程.
【答案】 【参考解答】: (1) 水平渐近线: 因为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^3}{x^2+2 x}=\infty$ ,故曲 线两个方向都无水平渐近线;
(2) 铅直渐近线: 可能位置 $x=0, x=-2$. 由于
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^3}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^2}{x+2}=0, \lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^3}{x^2+2 x}=\infty
$$
故曲线存在铅直渐近线 $x=-2$.
(3) 斜渐近线: 又由于
$$
\begin{aligned}
&\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^3}{x^3+2 x^2}=2 \\
&\lim _{x \rightarrow \infty}(y-2 x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^3-2 x\left(x^2+2 x\right)}{x^2+2 x}=-4
\end{aligned}
$$
故曲线两侧存在共同的斜渐近线 $y=2 x-4$.


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