求出使不等式
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}, n=1,2, \cdots
$$
成立的最大的数 $\alpha$ 和最小的数 $\beta$.
【答案】 取对数将不等式变形为
$$
\alpha \leqslant \frac{1}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}-n \leqslant \beta, n=1,2, \cdots .
$$

令 $f(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}, x \in(0,1]$, 则
$$
f^{\prime}(x)=-\frac{1}{\ln ^2(1+x)} \cdot \frac{1}{1+x}+\frac{1}{x^2}=\frac{(1+x) \ln ^2(1+x)-x^2}{x^2(1+x) \ln ^2(1+x)},
$$
再令 $g(x)=(1+x) \ln ^2(1+x)-x^2, x \in(0,1]$, 则
$$
\begin{aligned}
&g^{\prime}(x)=\ln ^2(1+x)+2 \ln (1+x)-2 x, \\
&g^{\prime \prime}(x)=\frac{2 \ln (1+x)}{1+x}+\frac{2}{1+x}-2=\frac{2 \ln (1+x)-2 x}{1+x},
\end{aligned}
$$
当 $x \in(0,1]$ 时, $g^{\prime \prime}(x) < 0, g^{\prime}(x)$ 严格递减, 从而 $g^{\prime}(x) < g^{\prime}(0)=0$, 于是又得到 $g(x)$ 严格递减, $g(x) < g(0)=0$, 即得
$$
f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^2(1+x) \ln ^2(1+x)} < 0,
$$
所以 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 严格递减,
$$
\begin{aligned}
&f(x) < \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\frac{1}{2}, \\
&f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]=\frac{1}{\ln 2}-1 .
\end{aligned}
$$
从而有 $\frac{1}{\ln 2}-1 \leqslant f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}-n < \frac{1}{2}$, 即取 $\alpha=\frac{1}{\ln 2}-1, \beta=\frac{1}{2}$.


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