题号:2959    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) > 0, \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=2$, 则
$A.$ $f(0) \leqslant 0$. $B.$ $f(0) > 0$. $C.$ $f(0) \leqslant 1$. $D.$ $f(0) > 1$.
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答案:
C

解析:

解 由泰勒公式得, $f(x)$ 在 $x=0$ 处展开为
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 !}(x-0)^2 \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x,
$$
其中 $\xi$ 介于 0 与 $x$ 之间, 故
$$
\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{-1}^1\left[f(0)+f^{\prime}(0) x\right] \mathrm{d} x=2 f(0) .
$$
所以 $f(0) \leqslant \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=1$. C 正确.
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