【ID】2911 【题型】解答题 【类型】期末考试 【来源】2023大一高数导数与微分期末考试
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导, 函数 $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2+b x+c & x > 0 \\ f(x) & x \leq 0\end{array}\right.$, 试确定常数 $a, b, c$ 的值, 使得函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点二阶可导.
答案:
解: 因为 $g(x)$ 在 $x=0$ 点二阶可导.所以, $g(x)$ 在 $x=0$ 点一阶可导、连续。

由 $g(x)$ 在 $x=0$ 点连续可得: $\lim _{x \rightarrow 0} g(0)=f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} g(0)=c$, 从而 $c=f(0) $

由 $g(x)$ 在 $x=0$ 点可导可得: $g_{-}(0)=f^{\prime}(0)=g_{+}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a x^2+b x+c-f(0)}{x-0}=b$, 从而 $b=f(0) $

从而可知: $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 a x+b & x > 0 \\ f^{\prime}(x) & x \leq 0\end{array}\right.$
又由 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 点二阶可导可得: $g_{-}^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)=g_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a x+b-f^{\prime}(0)}{x-0}=2 a$, 从而 $2 a=f^{\prime}(0) $

解析:

视频讲解

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